Список моментів інерції

Нижче приведено список формул, за якими розраховуються моменти інерції різних тіл. Розмірність масових моментів інерції — маса×довжина². Це обертовий аналог маси тіл. Ці моменти інерції не слід плутати із моментами інерції плоских перерізів, які використовуються при розрахунку згинів і деформацій.

Нижченаведені моменти інерції допускають лише сталу густину тіл обертання, а вісь обертання проведена через центр мас, якщо не зазначено інше

Опис	Момент(и) інерції	Коментар
Точкова маса m на відстані r від осі обертання.	$I=mr^{2}$	Точка не має моменту інерції відносно осі, що проходить крізь неї. Наведений вираз отримано з теореми Штейнера.
Дві точкові маси, M і m, із зведеною масою $\mu$ на віддалі, x одна від одної.	$I={\frac {Mm}{M\!+\!m}}x^{2}=\mu x^{2}$	—
Стрижень довжиною L і масою m (Вісь обертання проходить через один із кінців стрижня)	$I_{\mathrm {end} }={\frac {mL^{2}}{3}}\,\!$ [1]	В цьому виразі припускається що стрижень нескінченно тонкий (однак твердий). Це також є частковим випадком тонкої прямокутної площини з осями обертання на краю площини з h = L і w = 0.
Стрижень довжиною L і масою m	$I_{\mathrm {center} }={\frac {mL^{2}}{12}}\,\!$ [1]	В цьому виразі припускається що стрижень нескінченно тонкий (однак твердий). Це також є частковим випадком тонкої прямокутної площини з осями обертання що проходять через центр площини, w = L і h = 0.
Тонке кільце радіусу r маси m	$I_{z}=mr^{2}\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!$	Це частковий випадок тору для якого b=0. (див. нижче), а також тонкостінного циліндру без основ, з r₁=r₂ і h=0.
Тонкий суцільний диск, радіусу r і маси m	$I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!$ $I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{4}}\,\!$	Це частковий випадок суцільного циліндру,з h=0.
Тонка циліндрична оболонка з без основ, радіусу r маси m	$I=mr^{2}\,\!$ [1]	Цей вираз говорить що товщина оболонки нескінченно мала. Це частковий випадок тонкостінної циліндричної труби для r₁=r₂. Також, точкова маса (m) на кінці стрижня довжиною r має саме такий момент інерції а значення r називають радіусом інерції .
Суцільний циліндр радіусу r, висоти h і маси m	$I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}\,\!$ [1] $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left(3r^{2}+h^{2}\right)$	Це частковий випадок тонкостінної циліндричної труби з r₁=0. (Зауваження: осі X-Y повинні помінятися місцями для стандартної правої трійки базисних векторів)
Тонкостінна циліндрична труба з без основ з внутрішнім радіусом r₁, зовнішнім радіусом r₂, довжиною h і масою m	$I_{z}={\frac {1}{2}}m\left({r_{1}}^{2}+{r_{2}}^{2}\right)$ [1][2] $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left[3\left({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2}\right)+h^{2}\right]$ або ж вводячи нормовану товщину t_n = t/r і припускаючи r = r₂, then $I_{z}=mr^{2}\left(1-t_{n}+{\frac {1}{2}}{t_{n}}^{2}\right)$	З густиною ρ і такою ж геометрією $I_{z}={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}\pi \rho h\left(3({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4})+h^{2}({r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2})\right)$
Сфера (пустотіла) радіуса r і маси m	$I={\frac {2mr^{2}}{3}}\,\!$ [1]	Пустотіла сфера може розглянута такою, що зроблена з двох наборів нескінченно-тонких, круглих обручів, в яких радіус змінюється від 0 до r (або одного набору, в якого радіус змінюється з -r до r).
Куля (суцільна) радіусу r і маси m	$I={\frac {2mr^{2}}{5}}\,\!$ [1]	Сфера може розглядатись як така, що зроблена з двох наборів нескінченно-тонких твердих дисків в яких радіус змінюється від 0 до r (або одного набору в якого радіус змінюється від -r до r). Також, може розглядатись як зроблена з нескінченно тонких, пустотілих сфер, де радіус змінюється від 0 до r.
Прямокутний Конус радіусу r висоти height h і маси m.	$I_{z}={\frac {3}{10}}mr^{2}\,\!$ [3] $I_{x}=I_{y}={\frac {3}{5}}m\left({\frac {r^{2}}{4}}+h^{2}\right)\,\!$ [3]	—
Трубчатий тор радіусу а, з радіусом перерізу b і маси m.	Навколо діаметра: ${\frac {1}{8}}\left(4a^{2}+5b^{2}\right)m$ [4] Навколо вертикальної осі: $\left(a^{2}+{\frac {3}{4}}b^{2}\right)m$ [4]	—
Еліпсоїд (суцільний) з напівосями a, b, і c з віссю обертання a і масою m	$I_{a}={\frac {m(b^{2}+c^{2})}{5}}\,\!$	—
Тонка прямокутна площина висоти h і ширини w і маси m (Вісь обертання на краю площини)	$I_{e}={\frac {mh^{2}}{3}}+{\frac {mw^{2}}{12}}\,\!$	—
Тонка прямокутна площина висоти h і ширини w і маси m	$I_{c}={\frac {m(h^{2}+w^{2})}{12}}\,\!$ [1]	—
Суцільний кубоїд висоти h, ширини w, і глибини depth d, маси m	$I_{h}={\frac {1}{12}}m\left(w^{2}+d^{2}\right)$ $I_{w}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+d^{2}\right)$ $I_{d}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+w^{2}\right)$	Для схоже орієнтованого куба з ребрами $s$ , $I_{CM}={\frac {ms^{2}}{6}}\,\!$ .
Суцільний кубоїд висоти D, ширини W, довжини L, і маси m з найдовшою діагоналлю в ролі осі обертання.	$I={\frac {m\left(W^{2}D^{2}+L^{2}D^{2}+L^{2}W^{2}\right)}{6\left(L^{2}+W^{2}+D^{2}\right)}}$	Для куба з ребрами $s$ , $I={\frac {ms^{2}}{6}}\,\!$ .
Плоский многокутник з вершинами ${\vec {P}}_{1}$ , ${\vec {P}}_{2}$ , ${\vec {P}}_{3}$ , ..., ${\vec {P}}_{N}$ і масою $m$ однорідно розподіленою на його поверхні, що обертається навколо осі перпендикулярній до площини і проходить через початок координати.	$I={\frac {m}{6}}{\frac {\sum \limits _{n=1}^{N-1}\\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\\|(({\vec {P}}_{n+1}\cdot {\vec {P}}_{n+1})+({\vec {P}}_{n+1}\cdot {\vec {P}}_{n})+({\vec {P}}_{n}\cdot {\vec {P}}_{n}))}{\sum \limits _{n=1}^{N-1}\\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\\|}}$	Цей вираз передбачає, що многокутник є опуклим. Вектори ${\vec {P}}_{1}$ , ${\vec {P}}_{2}$ , ${\vec {P}}_{3}$ , ..., ${\vec {P}}_{N}$ є радіус-векторами вершин.
Нескінченний круг з масою, що нормально розподілена на двох осях навколо обертання (тобто $\rho (x,y)={\tfrac {m}{2\pi ab}}\,e^{-((x/a)^{2}+(y/b)^{2})/2}$ де : $\rho (x,y)$ — масова густина як функція x і y).	$I=m(a^{2}+b^{2})\,\!$	—

Див. також

Примітки

Raymond A. Serway (1986). Physics for Scientists and Engineers, second ed.. Saunders College Publishing. с. 202. ISBN 0-03-004534-7.
Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder. LivePhysics.com. Retrieved on 2008-01-31.
Ferdinand P. Beer and E. Russell Johnston, Jr (1984). Vector Mechanics for Engineers, fourth ed. McGraw-Hill. с. 911. ISBN 0-07-004389-2.
Eric W. Weisstein. Moment of Inertia — Ring. Wolfram Research. Архів оригіналу за 13 липня 2013. Процитовано 25 березня 2010.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[serway-1] Raymond A. Serway (1986). Physics for Scientists and Engineers, second ed.. Saunders College Publishing. с. 202. ISBN 0-03-004534-7.

[2] Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder. LivePhysics.com. Retrieved on 2008-01-31.

[beer-3] Ferdinand P. Beer and E. Russell Johnston, Jr (1984). Vector Mechanics for Engineers, fourth ed. McGraw-Hill. с. 911. ISBN 0-07-004389-2.

[weisstein_torus-4] Eric W. Weisstein. Moment of Inertia — Ring. Wolfram Research. Архів оригіналу за 13 липня 2013. Процитовано 25 березня 2010.