Теорема Асколі — Арцела

Нехай ${\displaystyle A}$ — деяка множина в метричному просторі ${\displaystyle M}$ з метрикою ${\displaystyle \rho }$, а ${\displaystyle \varepsilon }$ — деяке додатне число.

Множина ${\displaystyle B\subset M}$ називається ${\displaystyle \varepsilon }$-сіткою[2] для ${\displaystyle A}$, якщо для довільної точки ${\displaystyle x\in A}$ знайдеться хоча б одна точка ${\displaystyle b\in B}$ така, що ${\displaystyle \rho (x,b)\leqslant \varepsilon }$.

Наприклад, множина точок з цілочисловими координатами утворює на площині ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$-сітку.

Множина ${\displaystyle A}$ називається цілком (повністю) обмеженою[2], якщо для неї при довільному ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує скінченна ${\displaystyle \varepsilon }$-сітка.

Справедливе наступне твердження:[3]

Для того, щоб множина ${\displaystyle A}$ повного метричного простору була відносно компактною в цьому просторі необхідно і достатньо, щоб вона була цілком обмеженою.

Отже, для доведення теореми нам необхідно показати, що рівностепенева неперервність та рівномірна обмеженість сім'ї функцій ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ еквівалентна її повній обмеженості.

Н е о б х і д н і с т ь. Нехай сім'я функцій ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ цілком обмежена множина. Тоді для довільного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ в сім'ї ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ існує скінченна ${\displaystyle (\varepsilon /3)}$-сітка ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\dots ,\varphi _{k},}$.

Оскільки кожна з функцій ${\displaystyle \varphi _{i}}$ неперервна на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$, то вона обмежена на цьому відрізку: ${\displaystyle |\varphi _{i}|<K_{i}}$, де ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Покладемо ${\displaystyle K=\max _{i}K_{i}+\varepsilon /3}$.

За означенням ${\displaystyle (\varepsilon /3)}$-сітки, для довільної функції ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$ знайдеться хоча б одна функція ${\displaystyle \varphi _{i}}$ така, що

${\displaystyle \rho (f,\varphi _{i})=\max _{x\in [a,b]}|f(x)-\varphi _{i}(x)|\leqslant \varepsilon /3}$.

Звідки випливає, що

${\displaystyle |f(x)|\leqslant |\varphi _{i}(x)|+\varepsilon /3\leqslant K_{i}+\varepsilon /3\leqslant K}$.

Отже, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — рівномірно обмежена.

Тепер, оскільки кожна з функцій ${\displaystyle \varphi _{i}}$ неперервна на ${\displaystyle [a,b]}$, то вона рівномірно неперервна на цьому відрізку. Тобто, для заданого ${\displaystyle (\varepsilon /3)}$ знайдеться таке ${\displaystyle \delta _{i}=\delta _{i}(\varepsilon )}$, що

${\displaystyle |\varphi _{i}(x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|<\varepsilon /3}$

якщо тільки ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta _{i}}$.

Покладемо ${\displaystyle \delta =\min _{i}\delta _{i}}$.

Для довільної функції ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$ виберемо ${\displaystyle \varphi _{i}}$ так, щоб ${\displaystyle \rho (f,\varphi _{i})\leqslant \varepsilon /3}$.

Тоді для довільних точок ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in [a,b]}$ таких, що ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$ матиме місце нерівність

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant |f(x_{1})-\varphi _{i}(x_{1})|+|\varphi _{i}(x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|+|\varphi _{i}(x_{2})-f(x_{2})|<\varepsilon /3+\varepsilon /3+\varepsilon /3=\varepsilon }$.

Як бачимо величина ${\displaystyle \delta }$ залежить тільки від вибору ${\displaystyle \varepsilon }$ і не залежить від вибору точок ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ для довільної функції з ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Іншими словами, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — рівностепенево неперервна.

Отже, з повної обмеженості випливає рівностепенева неперервність та рівномірна обмеженість.

Тепер покажемо зворотне твердження.

Д о с т а т н і с т ь. Нехай ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — рівностепенево неперервна та рівномірно обмежена сім'я функцій.

Зафіксуємо ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Нехай ${\displaystyle K}$ — стала, яка входить в означення рівномірної обмеженості, а ${\displaystyle \delta >0}$ — величина з означення рівностепеневої неперервності, яка відповідає ${\displaystyle \varepsilon /5}$. Іншими словами

${\displaystyle |f(x)|\leqslant K,\quad \forall f\in {\mathcal {F}},}$

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon /5,\quad |x_{1}-x_{2}|<\delta ,\quad \forall f\in {\mathcal {F}}.}$

Розглянемо прямокутник ${\displaystyle [a,b]\times [-K,K]}$ і розіб'ємо його вертикальними и горизонтальними прямими на прямокутні клітинки розміром менше ніж ${\displaystyle \delta }$ по горизонталі і ${\displaystyle \varepsilon /5}$ — по вертикалі. Нехай ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle \dots }$ , ${\displaystyle x_{N}}$ — вузли отриманої решітки по осі абсцис.

Якщо розглянути довільну функцію ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$, то для кожного вузла ${\displaystyle x_{i}}$ решітки обов'язково знайдеться така точка ${\displaystyle (x_{i},y_{j})}$ решітки, что ${\displaystyle |f(x_{i})-y_{j}|<\varepsilon /5}$. Це випливає з проведеної побудови решітки. Розглянемо ламану функцію (лінію) ${\displaystyle \varphi }$, яка в вузлах решітки приймає значення, які відхиляються від функції ${\displaystyle f}$ не більш ніж на ${\displaystyle \varepsilon /5}$, тобто ${\displaystyle |f(x_{i})-\varphi (x_{i})|<\varepsilon /5}$.

Оскільки за побудовою ${\displaystyle |f(x_{i})-\varphi (x_{i})|<\varepsilon /5,\,\,|f(x_{i+1})-\varphi (x_{i+1})|<\varepsilon /5,\,\,|f(x_{i})-f(x_{i+1})|<\varepsilon /5}$, то

${\displaystyle |\varphi (x_{i})-\varphi (x_{i+1})|<3\varepsilon /5.}$

Нехай ${\displaystyle x}$ — довільна точка відрізка ${\displaystyle [a,b]}$. Вона знаходиться в деякому інтервалі, скажімо, ${\displaystyle [x_{k},x_{k+1}]}$, побудованого розбиття. Оцінимо відхилення функції ${\displaystyle f}$ від побудованої ламаної ${\displaystyle \varphi }$ в цій точці.

${\displaystyle |f(x)-\varphi (x)|\leqslant |f(x)-f(x_{k})|+|f(x_{k})-\varphi (x_{k})|+|\varphi (x_{k})-\varphi (x)|<\varepsilon /5+\varepsilon /5+3\varepsilon /5=\varepsilon }$.

Тобто, таким чином побудовані ламані утворюють ${\displaystyle \varepsilon }$-сітку сім'ї функцій ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Кількість всіх ламаних, яких можна побудувати на отриманій решітці при заданому ${\displaystyle \varepsilon >0}$ очевидно скінченна. Звідси отримуємо, що ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — цілком обмежена.

Доведення завершено.