Рівномірна обмеженість

Нехай

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to K,i\in I\}}$

деяка послідовність функцій, де ${\displaystyle I}$ — деяка множина індексів, ${\displaystyle X}$ — довільна множина, а ${\displaystyle K}$ — множина дійсних чи комплексних чисел. Послідовність ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ рівномірно обмежена, якщо існує дійсне число ${\displaystyle M}$ таке, що

${\displaystyle |f_{i}(x)|\leqslant M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X.}$

• Нехай ${\displaystyle Y}$ — метричний простір з метрикою ${\displaystyle d}$. Тоді множина відображень

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to Y,i\in I\}}$

називається рівномірно обмеженою, якщо існує елемент ${\displaystyle a}$ з ${\displaystyle Y}$ і дійсне число ${\displaystyle M}$ таке, що

${\displaystyle d(f_{i}(x),a)\leqslant M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X.}$

• Нехай тепер ${\displaystyle Y}$ — нормований простір з нормою ${\displaystyle \|\cdot \|}$.

Тоді множина відображень ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — рівномірно обмежена, якщо існує дійсне число ${\displaystyle M}$ таке, що

${\displaystyle \|f_{i}(x)\|\leqslant M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X.}$