Теорема Гарді

Доведення подано для випадку неперервних субгармонічних функцій.

Нехай ${\displaystyle 0\leqslant r_{1}<r_{2}<R.}$ Позначимо ${\displaystyle U(z)\$ :\ {\overline {B(0,r_{2})}}\to \mathbb {R} } — розв'язок задачі Діріхле на ${\displaystyle {\overline {B(0,r_{2})}},}$ що задовольняє граничну умову ${\displaystyle U(\partial B(0,r_{2}))=f(\partial B(0,r_{2})).}$ Цей розв'язок завжди існує і є єдиним, функція ${\displaystyle U(z)}$ є гармонічною у ${\displaystyle B(0,r_{2}).}$ З означення субгармонічних функцій випливає, що ${\displaystyle f(z)\leqslant U(z),\ \forall z\in B(0,r_{2}).}$

З властивостей гармонічних функцій

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|U(r_{1}e^{i\varphi })|\,d\varphi ={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|U(r_{2}e^{i\varphi })|\,d\varphi ={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(r_{2}e^{i\varphi })|\,d\varphi =U(0).}$

Тому:

${\displaystyle I_{f}(r_{1})={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(r_{1}e^{i\varphi })|\,d\varphi \leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|U(r_{1}e^{i\varphi })|\,d\varphi ={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|U(r_{2}e^{i\varphi })|\,d\varphi =I_{f}(r_{2}).}$

Для доведення опуклості нехай ${\displaystyle 0<r_{1}<r_{2}<R}$ і нехай ${\displaystyle U(z)\$ :\ R(0;r_{1},r_{2})=\{r_{1}\leqslant |z|\leqslant r_{2}\}\to \mathbb {R} } — розв'язок задачі Діріхле на ${\displaystyle {\overline {R(0;r_{1},r_{2})}},}$ що задовольняє граничні умови ${\displaystyle U(\partial B(0,r_{1}))=f(\partial B(0,r_{1}))}$ і ${\displaystyle U(\partial B(0,r_{2}))=f(\partial B(0,r_{2})).}$ Цей розв'язок завжди існує і є єдиним, функція ${\displaystyle U(z)}$ є гармонічною у ${\displaystyle R(0;r_{1},r_{2}).}$

З властивостей субгармонічних функцій випливає, що ${\displaystyle f(z)\leqslant U(z),\ \forall z\in R(0;r_{1},r_{2})}$ і тому

${\displaystyle I_{f}(r)\leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }U(re^{i\varphi })\,d\varphi ,\ \forall r_{1}\leqslant r\leqslant r_{2}.}$

Якщо тепер взяти похідну по r із правої сторони останньої нерівності, то:

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left(\int \limits _{0}^{2\pi }U(re^{i\varphi })\,d\varphi \right)={\frac {d}{dr}}\left(\int \limits _{0}^{2\pi }U(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,d\varphi \right)=\int \limits _{0}^{2\pi }\cos \varphi U_{x}(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )+\sin \varphi U_{y}(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,d\varphi ={\frac {1}{r}}\int _{C_{r}}{\frac {\partial U}{\partial n}}ds.}$

У попередніх рівностях останній інтеграл є криволінійним інтегралом I роду, ${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$ — похідна у напрямку нормалі до кола, а ${\displaystyle C_{r}}$ позначає коло радіуса r.

Для гармонічних функцій у кільці для всіх ${\displaystyle r_{1}\leqslant rr_{2}}$ вираз ${\displaystyle \int _{C_{r}}{\frac {\partial U}{\partial n}}ds}$ є константою. Тому із попереднього ${\displaystyle I_{f}(r)\leqslant a\log r+b}$ і до того ж у точках ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ виконується рівність. Тому ${\displaystyle I_{f}(r)}$ є опуклою функцією від ${\displaystyle \log r.}$

Для випадку ${\displaystyle p=\infty }$ твердження для функції ${\displaystyle I_{\infty }(f,r)=\max _{0\leqslant \varphi <2\pi }|f(re^{i\varphi })|}$ випливає із принципу максимуму модуля і теореми Адамара про три кола.

Для голоморфної функції ${\displaystyle f(z)}$ функція ${\displaystyle |f(z)|^{p},\ p>0}$ є субгармонічною функцією. Тому ${\displaystyle I_{p}(f,r)}$ є неспадною функцією.

Якщо додатково ${\displaystyle f(z)}$ не є константою, то при тих же позначеннях, що і вище, якщо ${\displaystyle U(z)\$ :\ {\overline {B(0,r_{2})}}\to \mathbb {R} } — розв'язок задачі Діріхле на ${\displaystyle {\overline {B(0,r_{2})}},}$ що задовольняє граничну умову ${\displaystyle U(\partial B(0,r_{2}))=f(\partial B(0,r_{2})),}$ то виконується строга нерівність ${\displaystyle f(z)<U(z),\ \forall z\in B(0,r_{2}).}$

Справді, якщо ${\displaystyle f(z_{0})=0,}$ то ${\displaystyle f(z_{0})<U(0),}$ бо інакше з принципу максимуму для гармонічних функцій ${\displaystyle U(z),}$ а тому і ${\displaystyle f(z)}$ всюди були б рівними нулю. Якщо ${\displaystyle f(z_{0})\not =0,}$ то існує круг ${\displaystyle B(z_{0},t)\subset B(0,R)}$ в усіх точках якого функція не є рівною нулю. Оскільки ${\displaystyle f(z)}$ є голоморфною в ${\displaystyle B(z_{0},t)}$ і не є константою (що є наслідком теореми про рівність), то аргумент ${\displaystyle f(z)}$ не є константою. Нехай точки ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in B(z_{0},t)}$ такі значення аргумента в яких є різними. Тоді ${\displaystyle {\frac {|f(z_{1})+f(z_{2})|}{|f(z_{1})|+|f(z_{2})|}}=1-2\varepsilon <1-\varepsilon }$ для деякого ${\displaystyle \varepsilon >0.}$

Оскільки ${\displaystyle U(z),f(z)}$ є гармонічною і голоморфною функціями в околі ${\displaystyle B(z_{0},t),}$ то за властивостями про середнє:

${\displaystyle U(z_{0})={\frac {1}{\pi t^{2}}}\int \int _{B(z_{0},t)}U(z)dV,}$

${\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{\pi t^{2}}}\int \int _{B(z_{0},t)}f(z)dV,}$

Тому :${\displaystyle |f(z_{0})|\leqslant {\frac {1}{\pi t^{2}}}\int \int _{B(z_{0},t)}|f(z)|dV\leqslant {\frac {1}{\pi t^{2}}}\int \int _{B(z_{0},t)}U(z)dV=U(z_{0}).}$ Тож для доведення ${\displaystyle f(z)<U(z)}$ достатньо довести, що перша нерівність є строгою.

Для цього достатньо знайти підмножину ${\displaystyle \Omega \subset B(z_{0},t)}$ для якої ${\displaystyle \left|\int \int _{\Omega }f(z)dV\right|<\int \int _{\Omega }|f(z)|dV.}$ Для цього для вказаних вище точок ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ можна знайти околи ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}$ з однаковою площею ${\displaystyle \sigma .}$ Тоді ${\displaystyle \int \int _{\Omega _{1}}f(z)dV=(\sigma f(z_{1})+\delta _{1})}$ і ${\displaystyle \int \int _{\Omega _{2}}f(z)dV=\sigma (f(z_{2})+\delta _{2}),}$ де ${\displaystyle \delta _{1},\delta _{2}}$ комплексні числа які можна зробити як завгодно малими зменшивши ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}.}$

Подібно ${\displaystyle \int \int _{\Omega _{1}}|f(z)|dV=\sigma (|f(z_{1})|+\delta _{3})}$ і ${\displaystyle \int \int _{\Omega _{2}}|f(z)|dV=\sigma (|f(z_{2})|+\delta _{4}),}$ де ${\displaystyle \delta _{3},\delta _{4}}$ дійсні числа які можна зробити як завгодно малими зменшивши ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}.}$

Тоді маємо

${\displaystyle {\frac {|\int \int _{\Omega _{1}}f(z)dV+\int \int _{\Omega _{2}}f(z)dV|}{|\int \int _{\Omega _{1}}f(z)dV|+|\int \int _{\Omega _{2}}f(z)dV|}}={\frac {|\sigma (f(z_{1})+f(z_{2})+\delta _{1}+\delta _{2})|}{\sigma (|f(z_{1})|+|f(z_{2})|+\delta _{3}+\delta _{4}}}}$

Звідси випливає, що для достатньо малих околів ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}$ останній вираз прямує до ${\displaystyle {\frac {|f(z_{1})+f(z_{2})|}{|f(z_{1})|+|f(z_{2})|}}}$ і тому для деяких околів є меншим одиниці. Якщо позначити ${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2},}$ то звідси випливає ${\displaystyle \left|\int \int _{\Omega }f(z)dV\right|<\int \int _{\Omega }|f(z)|dV}$ і зрештою ${\displaystyle f(z_{0})<U(z_{0}).}$

Тоді у доведенні, як у випадку субгармонічних функцій зважаючи на строгу нерівність також будемо мати ${\displaystyle I_{1}(f,r_{1})<I_{1}(f,r_{2}).}$

Для довільного p нерівність між ${\displaystyle |f(z)|^{p}}$ і відповідною гармонічною функцією теж має місце. Для ${\displaystyle f|z|^{p}=0}$ доведення аналогічне попередньому в іншому випадку локально ${\displaystyle |f(z)|^{p}}$ є модулем однозначної голоморфної функції ${\displaystyle (f(z))^{p}}$ і можна використати попереднє доведення. Далі аналогічно ${\displaystyle I_{p}(f,r_{1})<I_{p}(f,r_{2}).}$

Опуклість прямо випливає із твердження для субгармонічних функцій.