Простір Гарді

Простір Гарді ${\displaystyle \ H^{p}}$ при ${\displaystyle 0<p<\infty }$ — це клас голоморфних функцій на відкритому одиничному колі на комплексної площині, що задовольняють наступній умові

${\displaystyle \sup _{0<r<1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\left|f(re^{i\theta })\right|^{p}\;d\theta \right)^{\frac {1}{p}}<\infty .}$

Ліва частина цієї нерівності називається ${\displaystyle \ p}$-нормою в просторі Гарді або просто нормою Гарді для ${\displaystyle \ f}$, і позначається ${\displaystyle \ |f|_{H^{p}}}$. Як і у випадку ${\displaystyle L^{p}}$-просторів, ця норма узагальнюється на випадок ${\displaystyle p=\infty }$ як

${\displaystyle |f|_{H^{\infty }}\ =\ \sup _{0<r<1}\sup _{z:\ |z|=r}|f(z)|\ =\ \sup _{z:\ |z|<1}|f(z)|.}$

Простір Гарді H^p(H) на верхній комплексній півплощині H за означенням є простором функцій f голоморфних на H з обмеженою квазінормою заданою як

${\displaystyle \|f\|_{H^{p}}=\sup _{y>0}\left(\int |f(x+iy)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Простір H^∞(H) є простором голоморфних функцій із обмеженою нормою:

${\displaystyle \|f\|_{H^{\infty }}=\sup _{z\in \mathbf {H} }|f(z)|.}$

Хоча одиничний круг D і верхня комплексна півплощина H відображаються один на одного за допомогою перетворень Мебіуса вони не є рівнозначними як області для просторів Гарді. Зокрема це пояснюється тим, що одиничне коло має скінченну (одновимірну) міру Лебега, а дійсна пряма має нескінченну міру. Проте для H² справедливим є твердження: якщо m : D → H позначає перетворення Мебіуса

${\displaystyle m(z)=i\cdot {\frac {1+z}{1-z}}.}$

то лінійний операторr M : H²(H) → H²(D) заданий як

${\displaystyle (Mf)(z):={\frac {\sqrt {\pi }}{1-z}}f(m(z)).}$

є ізометричним ізоморфізмом просторів Гільберта.

Простори Гарді на одиничному крузі можна розглядати як замкнуті векторні підпростори комплексних ${\displaystyle L^{p}}$-просторів на одиничному колі.

Якщо f ∈ H^p, де p > 0, то радіальна границя

${\displaystyle {\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)=\lim _{r\to 1}f\left(re^{i\theta }\right)}$

існує для майже всіх θ. Функція ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ належить до L^p - простору на одиничному колі і також

${\displaystyle \|{\tilde {f}}\|_{L^{p}}=\|f\|_{H^{p}}.}$

Також виконується рівність

${\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\left|f(re^{i\theta })-{\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)\right|^{p}\;d\theta =0.}$

Якщо функція ${\displaystyle {\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)}$ є рівною нулю на підмножині додатної міри одиничного кола, то f є рівною нулю на всьому одиничному крузі.

Якщо позначити одиничне коло як T і H^p(T) — векторний підпростір простору L^p(T) елементами якого є граничні функції ${\displaystyle {\tilde {f}}}$, де f належить H^p, то для p ≥ 1,

${\displaystyle g\in H^{p}\left(\mathbf {T} \right)\Longleftrightarrow g\in L^{p}\left(\mathbf {T} \right)\land \forall n<0,\ {\hat {g}}(n)=0,}$

де ĝ(n) є коефіцієнтами Фур'є функції g:

${\displaystyle \forall n\in \mathbf {Z} ,\ \ \ {\hat {g}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }g\left(e^{i\phi }\right)e^{-in\phi }\,\mathrm {d} \phi .}$

Простір H^p(T) є замкнутим підпростором простору L^p(T).

Навпаки для функції ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ∈ L^p(T), де p ≥ 1, можна одержати функцію f , що є гармонічною на одиничному крузі за допомогою інтегральної формули Пуассона P_r:

${\displaystyle f\left(re^{i\theta }\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}(\theta -\phi ){\tilde {f}}\left(e^{i\phi }\right)\,\mathrm {d} \phi ,\quad r<1.}$

Тоді f належить H^p тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ належить H^p(T). Якщо ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ належить H^p(T), тобто ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ має коефіцієнти Фур'є (a_n)_n∈Z і a_n = 0 для n < 0, тоді функція f простору Гарді H^p пов'язана з ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ є голоморфною функцією із розкладом в ряд Тейлора:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\ \ \ |z|<1.}$

• Для p ≥ 1, простір${\displaystyle \ H^{p}}$ є простором Банаха.
• Для випадку ${\displaystyle 0<p<q\leq \infty }$ ${\displaystyle \ H^{q}}$ є підмножиною множини ${\displaystyle \ H^{p}}$.

Доведення включення ${\displaystyle \ H^{q}\subset \ H^{p}}$ здійснюється з використанням нерівності Єнсена функції ${\displaystyle x\to x^{\frac {q}{p}},}$ яка є опуклою на проміжку (0, 1) згідно умови ${\displaystyle {\frac {q}{p}}>1.}$ Тоді

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|^{p}d\theta =\left[(2\pi )^{q/p}\left(\int \limits _{0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|^{p}(d\theta /2\pi )\right)^{q/p}\right]^{p/q}\leqslant (2\pi )^{(q-p)/q}\left(\int \limits _{0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|^{q}d\theta \right)^{p/q}}$

Якщо ${\displaystyle f\in \ H^{q},}$ то супремум по r у правій стороні нерівності є скінченним і тому скінченним є супремум з лівої сторони, а отже ${\displaystyle f\in \ H^{p}.}$

Приклад нижче показує, що включення є строгим, тобто для ${\displaystyle 0<p<q\leq \infty }$, як простори функцій ${\displaystyle \ H^{p}\neq \ H^{q}.}$

• Згідно теореми Гарді в означенні можна взяти границю при прямуванні r до 1:

${\displaystyle \ |f|_{H^{p}}=\lim _{r\to 1^{-}}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(re^{\mathrm {i} \theta })|^{p}\ d\theta \right)^{\frac {1}{p}}.}$

• Якщо функція ${\displaystyle f\in \ H^{p},\ 0<p\leqslant \infty }$ і ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$ є нулями функції в одиничному крузі з врахуванням кратності, то ${\displaystyle \textstyle \sum _{i}(1-|a_{i}|)<\infty .}$ Навпаки, якщо не більш ніж зліченна множина комплексних чисел із одиничного круга задовольняє цю нерівність, то вона є множиною нулів деякої функції із простору Гарді.
• Якщо ${\displaystyle f\in \ H^{p}}$, то існують збіжний добуток Бляшке ${\displaystyle B}$ і голоморфна ніде не рівна нулю на одиничному крузі функція ${\displaystyle F}$ для яких ${\displaystyle f=F\cdot B.}$ До того ж ${\displaystyle \ |f|_{H^{p}}=\ |F|_{H^{p}}.}$ Добуток Бляшке записується через нулі функції f:

${\displaystyle B(z)=z^{n}\prod _{k}{\frac {|a_{k}|}{a_{k}}}{\frac {z-a_{k}}{1-{\overline {a_{k}}}z}},}$ де n — кратність 0 як нуля функції f.

Функція ${\displaystyle F}$ розкладається у добуток зовнішньої функції

${\displaystyle F_{0}(z)=\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}\ln \chi (e^{i\theta })d\theta +i\alpha \right),\quad \alpha \in \mathbb {R} ,}$

і внутрішньої сингулярної функції:

${\displaystyle S(z)=\exp \left(\int _{0}^{2\pi }{\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}\ d\mu (\theta )\right)}$

де ${\displaystyle \chi (e^{i\theta })\geqslant 0,\ \ln(\chi (e^{i\theta }))}$ є функцією класу ${\displaystyle L^{1}}$ на одиничному колі, а ${\displaystyle d\mu (\theta )}$ є невід'ємною сингулярною мірою на одиничному колі.

Також три умови ${\displaystyle f\in \ H^{p},\ F_{0}\in \ H^{p},\chi \in L^{p}(T)}$ є рівносильними і ${\displaystyle {\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)={\tilde {F}}_{0}\left(e^{i\theta }\right)=\chi (e^{i\theta })}$ майже всюди на одиничному колі.

• Функція ${\displaystyle G(z)=B(z)\cdot S(z)}$ є внутрішньою функцією і функції такого виду повністю характеризуються умовами ${\displaystyle |G(z)|<1}$ у відкритому одиничному колі і ${\displaystyle {\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)=1}$ майже всюди на одиничному колі.

• Якщо ${\displaystyle 0<p_{1}<p<p_{2}\leqslant \infty }$ то функція ${\displaystyle f_{p}(z)={\frac {1}{(1-z)^{1/p}}}}$ визначена за допомогою основної гілки логарифму належить простору ${\displaystyle \ H^{p_{1}}}$ але не належить простору ${\displaystyle \ H^{p_{2}}.}$

Для цієї функції виконуються нерівності:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\left|f_{p}(re^{i\theta })\right|^{p_{1}}\;d\theta =\int \limits _{0}^{2\pi }\left|1-re^{i\theta }\right|^{-p_{1}/p}\;d\theta \leqslant \int \limits _{0}^{2\pi }\left|r-re^{i\theta }\right|^{-p_{1}/p}\;d\theta =r^{-p_{1}/p}\int \limits _{0}^{2\pi }\left|1-e^{i\theta }\right|^{-p_{1}/p}\;d\theta \leqslant 4r^{-p_{1}/p}\int \limits _{0}^{\pi /2}\left({\frac {1}{\sin \theta }}\right)^{p_{1}/p}\;d\theta .}$

Оскільки для ${\displaystyle 0<\theta \leqslant \pi /2}$ виконується нерівність ${\displaystyle \sin \theta \geqslant \theta /2,}$ то додатково ці інтеграли є меншими, ніж ${\displaystyle 4\cdot 2^{p_{1}/p}\cdot r^{-p_{1}/p}\int \limits _{0}^{\pi /2}\theta ^{-p_{1}/p}\;d\theta <\infty ,}$ а тому ${\displaystyle f_{p}(z)\in \ H^{p_{1}}.}$

З іншого боку виконуються нерівності

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }\left|1-re^{i\theta }\right|^{-p_{2}/p}\;d\theta >&\int \limits _{0}^{\pi /2}\left|1-re^{i\theta }\right|^{-p_{2}/p}\;d\theta \geqslant \int \limits _{0}^{\pi /2}\left|1-r\cos \theta +r\sin \theta \right|^{-p_{2}/p}\;d\theta \geqslant \\\geqslant &\quad r\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {\left(1-r\cos \theta +r\sin \theta \right)^{-p_{2}/p}}{r\cos \theta +r\sin \theta }}d\theta =r\cdot (1-p_{2}/p)\left((1+r)^{1-p_{2}/p}-(1-r)^{1-p_{2}/p}\right).\end{aligned}}}$

Оскільки ${\displaystyle p_{2}/p>1}$ то вираз справа у формулі прямує до нескінченності при прямуванні r до 1. Тому також ${\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f_{p}(re^{\mathrm {i} \theta })|^{p_{2}}\ d\theta \right)^{\frac {1}{p_{2}}}=\infty }$ і тому ${\displaystyle f_{p}(z)}$ не належить простору ${\displaystyle \ H^{p_{2}}.}$

• Якщо голоморфна функція f є однолистою (ін'єктивною) на одиничному крузі, тоді ${\displaystyle f\in \ H^{p}}$ для всіх ${\displaystyle \ 0<p<{\frac {1}{2}}.}$ Якщо додатково ця функція не є рівною нулю у жодній точці одиничного круга. то ${\displaystyle \ln f\in \ H^{p}}$ для всіх ${\displaystyle p>0.}$
• Якщо f є голоморфною у відкритому одиничному крузі, то ${\displaystyle f'\in \ H^{1}}$ тоді і тільки тоді, коли f є неперервною на замкнутому одиничному крузі і абсолютно неперервною на одиничному колі.
• Важливим окремим випадком є ${\displaystyle p=2.}$ Нехай ${\displaystyle f\in \ H^{2}}$ і її розклад у ряд Тейлора має вид ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }\,{\hat {f}}(n)\ z^{n},\qquad {\hat {f}}(n):={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}.}$ Для функції можна ввести норму ${\displaystyle \|f\|_{2}:=\left(\sum _{n=0}^{+\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}$ Тоді ${\displaystyle \ |f|_{H^{p}}=\|f\|_{2}}$ і зокрема ${\displaystyle f\in \ H^{2}}$ тоді і тільки тоді коли її норма ${\displaystyle \|f\|_{2}}$ є скінченною.

Позначаючи ${\displaystyle z=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }}$ де ${\displaystyle r\in [0,1[}$ і ${\displaystyle t\in [-\pi ,\pi ]}$ і враховуючи ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)z^{n}}$ маємо ${\displaystyle f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)r^{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\theta }.}$ Тобто ${\displaystyle {\hat {f}}(n)r^{n}}$ є коефіцієнтами Фур'є для ${\displaystyle f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })}$ як функції дійсної змінної. Тоді згідно рівності Парсеваля: ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\left|f(re^{i\theta })\right|^{2}\;d\theta =\sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}.}$ Із цієї рівності випливає твердження.

Звідси, випливає, що ${\displaystyle \ H^{2},}$ як нормований векторний простір є ізометрично ізоморфним простору ${\displaystyle l^{2}}$ і зокрема є простором Гільберта.

• Burkholder, Donald L.; Gundy, Richard F.; Silverstein, Martin L. (1971). A maximal function characterization of the class H^p. Transactions of the American Mathematical Society 157: 137–153. JSTOR 1995838. MR 0274767. doi:10.2307/1995838.
• Cima, Joseph A.; Ross, William T. (2000). The Backward Shift on the Hardy Space. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2083-4.
• Colwell, Peter (1985). Blaschke Products - Bounded Analytic Functions. Ann Arbor: University of Michigan Press. ISBN 978-0-472-10065-1.
• Duren, P. (1970). Theory of H^p-Spaces. Academic Press.
• Fefferman, Charles; Stein, Elias M. (1972). H^p spaces of several variables. Acta Mathematica 129 (3–4): 137–193. MR 0447953. doi:10.1007/BF02392215.
• Katznelson, Yitzhak (2004). An Introduction to Harmonic Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83829-0.
• Koosis, P. (1998). Introduction to H_p Spaces. Cambridge tracts in mathematics 115 (вид. Second). Cambridge University Press. ISBN 9780521455213.
• Mashreghi, J. (2009). Representation Theorems in Hardy Spaces. London Mathematical Society student texts 74. Cambridge University Press. ISBN 9780521517683.
• Nikolski, Nikolaï (2019). Hardy Spaces. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 179. Cambridge University Press. ISBN 9781316882108.
• Petersen, K. E. (1977). Brownian Motion, Hardy Spaces and Bounded Mean Oscillation. London Mathematical Society student texts 28. Cambridge University Press. ISBN 9780511662386.