Теорема про рівність голоморфних функцій

Якщо дві голоморфні функції f і g в області D є рівними на множині T, яка має граничну точку c у D, то f = g на деякому крузі в ${\displaystyle D}$ з центром у точці ${\displaystyle c}$.

Щоб довести це, досить показати, що ${\displaystyle f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c)}$ для всіх ${\displaystyle n\geq 0}$.

Якщо це не так, нехай m буде найменшим невід'ємним цілим числом з ${\displaystyle f^{(m)}(c)\neq g^{(m)}(c)}$. Зважаючи на голоморфність в деякому відкритому крузі U з центром у точці c:

${\displaystyle {\begin{aligned}(f-g)(z)&{}=(z-c)^{m}\cdot \left[{\frac {(f-g)^{(m)}(c)}{m!}}+{\frac {(z-c)\cdot (f-g)^{(m+1)}(c)}{(m+1)!}}+\cdots \right]\\[6pt]&{}=(z-c)^{m}\cdot h(z)\end{aligned}}}$

Враховуючи неперервність h не є рівною нулю у деякому відкритому крузі B з центром у точці c. Але тоді f − g ≠ 0 на проколотому крузі B − {c}. Це суперечить припущенню, що c є граничною точкою множини {f = g}.

Ця лема показує, що для комплексного числа a прообраз f⁻¹(a) є дискретною (і, отже, зліченною) множиною, за винятком якщо f = a.

Введемо множину, на якій ${\displaystyle f}$ та ${\displaystyle g}$ мають однаковий розклад у ряд Тейлора:

${\displaystyle S=\{z\in D\mid f^{(k)}(z)=g^{(k)}(z){\text{ for all }}k\geq 0\}=\bigcap _{k=0}^{\infty }\{z\in D\mid (f^{(k)}-g^{(k)})(z)=0\}.}$

Достатньо показати, що множина ${\displaystyle S}$ є непорожньою, відкритою та замкнутою. Тоді через зв'язність ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle S}$ має бути рівною ${\displaystyle D}$, що означає ${\displaystyle f=g}$ на ${\displaystyle S=D}$.

За лемою ${\displaystyle f=g}$ в деякому крузі з центром ${\displaystyle c}$, розташованому в ${\displaystyle D}$ , тому вони мають той же ряд Тейлора в ${\displaystyle c}$, звідки ${\displaystyle c\in S}$ і ${\displaystyle S}$ є непорожньою.

Оскільки ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ є голоморфними на ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle \forall w\in S}$, ряди Тейлора для ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ в околі ${\displaystyle w}$ мають ненульові радіуси збіжності. Тому на деякому відкритому крузі ${\displaystyle B_{r}(w)}$ ці функції рівні, а тому рівні і їх розклади у ряд Тейлора в усіх цих точках, тож усі точки у ${\displaystyle B_{r}(w)}$ також належать S. Тому S є відкритою множиною.

Із голоморфності ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ випливає, що вони мають голоморфні похідні, тому всі ${\displaystyle f^{(n)},g^{(n)}}$ є неперервними. Це означає, що ${\displaystyle \{z\in D\mid (f^{(k)}-g^{(k)})(z)=0\}}$ є замкнутою для всіх ${\displaystyle k}$. Оскільки ${\displaystyle S}$ є перетином замкнутих множин, то вона теж є замкнутою множиною.