Теорема Лебега про розклад міри

Ввідні означення

Нехай монотонно неспадна, неперервна зліва функція дійсної змінної для якої . У напівкільці всіх інтервалів виду можна ввести міру як: . Її можна продовжити на борелівську сигма-алгебру породжену напівкільцем вказаних інтервалів. Зокрема для різних типів інтервалів із скінченними кінцями:

,
,
,
.

де і позначають границі справа функції у відповідних точках.

називається мірою Лебега — Стілтьєса.

Типи мір

  • — функція стрибків, яка є константою в усіх точках за виключенням не більш, ніж зліченної множини точок у яких функція «здійснює стрибок». Стрибок завжди є додатним і у точці розриву він є рівним . Міра множини у цьому випадку є рівною:
У цьому випадку називається дискретною мірою.
  • Функція F є неперервною, монотонно не спадною на і . Тоді міра множини є рівною:
У цьому випадку називається абсолютно неперервною мірою.
  • сингулярна функція (наприклад, драбина Кантора, де приріст рівний 1 на всьому відрізку, але є константою майже всюди ). Міра зосереджена у точках зростання функції і називається сингулярною мірою.

Теорема про розклад міри

Твердження для міри Лебега — Стілтьєса

Згідно теореми Лебега про розклад міри будь-яку міру Лебега — Стілтьєса можна представити у вигляді суми трьох мір — дискретної, абсолютно неперервної, і сингулярної.

Твердження для σ-адитивних мір

Якщо і є заданими на вимірному просторі двома σ-скінченними мірами (чи, більш загально, σ-скінченними σ-адитивними зарядами), тоді існують дві міри (чи, відповідно σ-адитивні заряди) і для яких:

  • (тобто є абсолютно неперервною щодо )
  • (тобто і є сингулярними).

Ці дві міри є однозначно визначеними для and

Випадок міри Лебега — Стілтьєса одержується якщо є мірою Лебега — Стілтьєса, після чого її можна розкласти на абсолютно неперервну і сингулярну частини, а тоді із сингулярної частини окремо виділити (не більш, ніж зліченну) підмножину точок міра кожної з яких є додатною і відповідну дискретну міру.

Теорема Лебега пов'язана із теоремою теоремою Радона — Нікодима і її доведення можна одержати паралельно із доведенням цієї теореми (як у другому доведені у відповідній статті).

Див. також

Джерела

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.