Теорема Лебега про розклад міри

• ${\displaystyle F}$ — функція стрибків, яка є константою в усіх точках за виключенням не більш, ніж зліченної множини точок ${\displaystyle x_{i},\ i\geqslant 1}$ у яких функція «здійснює стрибок». Стрибок завжди є додатним і у точці розриву ${\displaystyle x_{i}}$ він є рівним ${\displaystyle h_{i}=F(x_{i}+0)-F(x_{i})}$. Міра ${\displaystyle \mu _{F}}$ множини ${\displaystyle A}$ у цьому випадку є рівною:

${\displaystyle \mu _{F}(A)=\sum \limits _{x_{i}\in A}h_{i}}$

У цьому випадку ${\displaystyle \mu _{F}}$ називається дискретною мірою.

• Функція F є неперервною, монотонно не спадною на ${\displaystyle [a,\;b]}$ і ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$. Тоді міра ${\displaystyle \mu _{F}}$ множини ${\displaystyle A}$ є рівною:

${\displaystyle \mu _{F}(A)=\int \limits _{A}f(x)\,dx}$

У цьому випадку ${\displaystyle \mu _{F}}$ називається абсолютно неперервною мірою.

• ${\displaystyle F}$ — сингулярна функція (наприклад, драбина Кантора, де приріст ${\displaystyle F}$ рівний 1 на всьому відрізку, але ${\displaystyle F}$ є константою майже всюди ). Міра ${\displaystyle \mu _{F}}$ зосереджена у точках зростання функції і називається сингулярною мірою.

Згідно теореми Лебега про розклад міри будь-яку міру Лебега — Стілтьєса можна представити у вигляді суми трьох мір — дискретної, абсолютно неперервної, і сингулярної.

Якщо ${\displaystyle \mu }$ і ${\displaystyle \nu }$ є заданими на вимірному просторі ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$ двома σ-скінченними мірами (чи, більш загально, σ-скінченними σ-адитивними зарядами), тоді існують дві міри (чи, відповідно σ-адитивні заряди) ${\displaystyle \nu _{0}}$ і ${\displaystyle \nu _{1}}$ для яких:

• ${\displaystyle \nu =\nu _{0}+\nu _{1}\,}$
• ${\displaystyle \nu _{0}\ll \mu }$ (тобто ${\displaystyle \nu _{0}}$ є абсолютно неперервною щодо ${\displaystyle \mu }$)
• ${\displaystyle \nu _{1}\perp \mu }$ (тобто ${\displaystyle \nu _{1}}$ і ${\displaystyle \mu }$ є сингулярними).

Ці дві міри є однозначно визначеними для ${\displaystyle \mu }$ and ${\displaystyle \nu .}$

Випадок міри Лебега — Стілтьєса одержується якщо ${\displaystyle \mu =\nu }$ є мірою Лебега — Стілтьєса, після чого її можна розкласти на абсолютно неперервну і сингулярну частини, а тоді із сингулярної частини окремо виділити (не більш, ніж зліченну) підмножину точок міра кожної з яких є додатною і відповідну дискретну міру.

Теорема Лебега пов'язана із теоремою теоремою Радона — Нікодима і її доведення можна одержати паралельно із доведенням цієї теореми (як у другому доведені у відповідній статті).