Теорема Монтеля

Нехай ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — сім'я голоморфних функцій на відкритій підмножині ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$. Якщо всі ці функції є обмежені на компактах, тобто для кожної компактної підмножини ${\displaystyle K\subseteq U}$ існує дійсне число ${\displaystyle M=M_{K}}$, таке що для всіх ${\displaystyle z\in K}$ і всіх ${\displaystyle f_{\alpha }\in {\mathcal {F}}}$ справедливою є нерівність ${\displaystyle |f_{\alpha }(z)|\leqslant M.}$

Тоді сім'я функцій ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ є нормальною тобто з кожної послідовності функцій ${\displaystyle f_{j}\in {\mathcal {F}}}$ модна вибрати підпослідовність рівномірно збіжну на всіх компактних підмножинах в ${\displaystyle U.}$

Справедливим також є багатовимірний аналог теореми, де ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$.

Твердження теореми є специфічним для випадку голоморфних функцій комплексної змінної. Їх аналоги для функцій дійсних змінних не є справедливими. Наприклад послідовність аналітичних функцій ${\displaystyle \{\sin kx\}_{k=1}^{\infty }}$ є обмеженою на проміжку ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ проте для цієї послідовності немає навіть поточково збіжної підпослідовності.

Зафіксуємо компактну множину ${\displaystyle K\subseteq U}$. Тепер виберемо трохи більшу компактну підмножину ${\displaystyle L\subseteq U}$ таку, що внутрішність ${\displaystyle L}$ містить ${\displaystyle K}$. Тоді для деякого ${\displaystyle \eta >0}$, для всіх точок ${\displaystyle z,w\in K}$ таких що ${\displaystyle |z-w|<\eta }$ відрізок, що їх сполучає, повністю належить ${\displaystyle L}$.

Оскільки ${\displaystyle L}$ є компактною множиною, то існує таке число ${\displaystyle r>0}$, що якщо ${\displaystyle z_{0}\in L}$ то круг ${\displaystyle B(z_{0},r)\subset U.}$ Тоді, для всіх ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$ з інтегральної теореми Коші випливає нерівність:

${\displaystyle |f'(z_{0})|\leqslant {\frac {M}{r}}\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;C_{1}.}$

Ці нерівності виконуються для всіх ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$ і ${\displaystyle z_{0}\in L}$.

Нехай тепер ${\displaystyle z,w\in K}$ і зафіксуємо ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$. Припустимо, що ${\displaystyle |z-w|<\eta }$ і ${\displaystyle \gamma (t):[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$ — параметризація відрізка, що сполучає точки ${\displaystyle z,w.}$

Тоді

${\displaystyle |f(z)-f(w)|=\left|\int _{0}^{1}f'(\gamma (t))\gamma '(t)\right|\leqslant C_{1}\int _{0}^{1}|\gamma '(t)|dt=C_{1}|z-w|.}$

Зокрема сім'я ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ є ріностепенево неперервною. Тому з теореми Асколі — Арцели випливає, що з кожної послідовності функцій ${\displaystyle f_{j}\in {\mathcal {F}}}$ можна вибрати підпослідовність рівномірно збіжну на ${\displaystyle K}$.

Тепер виберемо послідовність компактних підмножин ${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots }$ таких, що кожна множина в цій послідовності міститься у внутрішності наступної множини і об'єднання всіх множин дорівнює ${\displaystyle U.}$ З попереднього для будь-якої послідовності функцій ${\displaystyle f_{j}\in {\mathcal {F}}}$ можна вибрати підпослідовність ${\displaystyle f_{j1}\in {\mathcal {F}}}$, що рівномірно збігається на множині ${\displaystyle K_{1}}$. Продовжуючи можна вибрати підпослідовність ${\displaystyle f_{j2}\subset f_{j1}}$, що рівномірно збігається на ${\displaystyle K_{2}}$. Подібним чином можна визначити ${\displaystyle f_{j2}\subset f_{j1}}$, що рівномірно збігається на множині ${\displaystyle K_{i}}$.

Тепер можна визначити послідовність ${\displaystyle g_{i}=f_{ii}}$. Вона є підпослідовністю ${\displaystyle f_{j}}$ і рівномірно збігається на всіх підмножинах ${\displaystyle K_{i}}$, а тому і на всіх компактних підмножинах в ${\displaystyle U.}$ Це й завершує доведення теореми.

• Інтегральна теорема Коші
• Теорема Асколі — Арцела
• Теорема Віталі (комплексний аналіз)

• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2905-9