Теорема Островського

В теорії чисел, теорема Островського, дає класифікацію всіх абсолютних значень на полі раціональних чисел. Окрім того теоремою Островського також називають пов'язані результати для довільних числових полів і про архімедові абсолютні значення для довільного поля чи тіла.

Допоміжні означення і твердження теореми

Абсолютні значення $|\cdot |$ і $|\cdot |_{\ast }$ на полі K є еквівалентними якщо існує додатне дійсне число $c > 0$ таке що

|x|_{\ast }=|x|^{c}{\text{ for all }}x\in \mathbf {K} .

Тривіальним абсолютним значенням на полі K є абсолютне значення

|x|_{0}:={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0,\\1,&{\text{if }}x\neq 0.\end{cases}}

Дійсним абсолютним значенням на полі раціональних чисел Q є стандартний модуль числа тобто

|x|_{\infty }:={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}

Для простого числа $p$ , $p$ -адичне абсолютне значення на Q можна задати в такий спосіб: довільне раціональне число $x$ , можна в єдиний спосіб записати як $x=p^{n}{\dfrac {a}{b}}$ , де $a$ і $b$ цілі числа, що не діляться на $p$ , $b > 0$ і $n$ є цілим числом; тоді

|x|_{p}:={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0,\\p^{-n},&{\text{if }}x\neq 0.\end{cases}}

Теорема Островського: довільне нетривіальне власне значення на полі раціональних чисел є еквівалентним або дійсному власному значенню або $p$ -адичному абсолютному значенню для деякого простого числа $p$ .

Доведення

Розглянемо деяке абсолютне значення на множині $(\mathbf {Q} ,|\cdot |_{\ast })$ . Є два можливі випадки,

(i)

\exists {n\in \mathbf {N} },|n|_{\ast }>1

(ii)

\forall {n\in \mathbf {N} },|n|_{\ast }\leq 1

Достатньо розглянути значення лише на цілих числах більших 1. Справді, якщо число $c$ з множини $R +$ є таким, що для всіх цілих чисел більших 1, $|n|_{\ast }=|n|_{\ast \ast }^{c}$ тоді ця рівність також тривіально виконується для 0 і 1, а для додатних раціональних чисел

\left|{\frac {m}{n}}\right|_{\ast }={\frac {|m|_{\ast }}{|n|_{\ast }}}={\frac {|m|_{\ast \ast }^{c}}{|n|_{\ast \ast }^{c}}}=\left({\frac {|m|_{\ast \ast }}{|n|_{\ast \ast }}}\right)^{c}=\left|{\frac {m}{n}}\right|_{\ast \ast }^{c}.

Для від'ємних раціональних чисел:

|{-x}|_{\ast }=|x|_{\ast }=|x|_{\ast \ast }^{c}=|{-x}|_{\ast \ast }^{c}.

Випадок I: ∃n ∈ N |n|_∗ > 1

Нехай $a, b$ і $n$ — натуральні числа і $a, b > 1$ . Записавши $b n$ в системі числення з базою $a$ отримаємо:

b^{n}=\sum _{i<m}c_{i}a^{i},\qquad c_{i}\in \{0,1,\ldots ,a-1\},\quad m\leq n{\frac {\log b}{\log a}}+1.

Тоді, згідно властивостей абсолютних значень:

{\begin{aligned}|b|_{\ast }^{n}&=|b^{n}|_{\ast }\\&\leq am\max \left\{|a|_{\ast }^{m-1},1\right\}\\&\leq a(n\log _{a}b+1)\max \left\{|a|_{\ast }^{n\log _{a}b},1\right\}\end{aligned}}

Тому

|b|_{\ast }\leq \left(a(n\log _{a}b+1)\right)^{1/n}\max \left\{|a|_{\ast }^{\log _{a}b},1\right\}

Проте ми маємо:

(a(n\log _{a}b+1))^{1/n}\to 1,\quad {\text{as}}\quad n\to \infty

звідки випливає що:

|b|_{\ast }\leq \max \left\{|a|_{\ast }^{\log _{a}b},1\right\}.

Тепер виберемо $1 < b \in N$ таке що $| b | * > 1$ . Використовуючи це в попередньому отримаємо, що $| a | * > 1$ незалежно від вибору $a$ (в іншому випадку $|a|_{\ast }^{\log _{a}b}\leq 1$ і тому $|b|_{\ast }\leq 1$ ). Тож для довільного вибору $a, b > 1$ отримуємо

|b|_{\ast }\leq |a|_{\ast }^{\log b/\log a},

тобто

{\frac {\log |b|_{\ast }}{\log b}}\leq {\frac {\log |a|_{\ast }}{\log a}}.

Згідно симетрії, ця нерівність є рівністю.

Оскільки $a, b$ були довільними, існує константа, $\lambda \in \mathbf {R} ^{+}$ для якої $\log |n|_{\ast }=\lambda \log n$ , тобто $|n|_{\ast }=n^{\lambda }=|n|_{\infty }^{\lambda }$ для всіх цілих чисел $n > 1$ . Тому, згідно попереднього, $|x|_{\ast }=|x|_{\infty }^{\lambda }$ , що й доводить еквівалентність із звичайним модулем числа.

Випадок II: ∀n ∈ N |n|_∗ ≤ 1

Оскільки абсолютне значення не є тривіальним, існує натуральне число для якого $| n | * < 1$ . Розклавши це число на прості множники,

n=\prod _{i<r}p_{i}^{e_{i}}

можна помітити, що $| p | *$ має бути меншим 1, хоча б для одного простого множника $p = p j$ . Доведемо, що абсолютне значення може бути менше 1 лише для одного простого числа.

Припустимо, що $p, q$ є двома різними простими числами власне значення яких є меншим 1. Спершу нехай $e\in \mathbf {N} ^{+}$ таке число, що $|p|_{\ast }^{e},|q|_{\ast }^{e}<{\tfrac {1}{2}}$ . Згідно алгоритму Евкліда, існують числа $m, n \in Z$ для яких виконується рівність $mp^{e}+nq^{e}=1$ . Звідси отримуємо

1=|1|_{\ast }\leq |m|_{\ast }|p|_{\ast }^{e}+|n|_{\ast }|q|_{\ast }^{e}<{\frac {|m|_{\ast }+|n|_{\ast }}{2}}\leq 1,

що приводить до суперечності.

Отож маємо $| p j | * = α < 1$ для деякого $j$ і $| p i | * = 1$ для $i \neq j$ . Позначивши

c=-{\frac {\log \alpha }{\log p}},

отримуємо що для довільних натуральних чисел

|n|_{\ast }=\left|\prod _{i<r}p_{i}^{e_{i}}\right|_{\ast }=\prod _{i<r}\left|p_{i}\right|_{\ast }^{e_{i}}=\left|p_{j}\right|_{\ast }^{e_{j}}=(p^{-e_{j}})^{c}=|n|_{p}^{c}.

Як і вище для довільних раціональних чисел $|x|_{\ast }=|x|_{p}^{c}$ , тобто абсолютне значення є еквівалентним з $p$ -адичним абсолютним значенням.

Узагальнення теореми Островського

Теоремою Островського часто також називають більш загальні твердження для довільних числових полів, загальних полів чи тіл.

Твердження для числових полів

Нехай $K$ — алгебричне числове поле, тобто скінченне розширення поля раціональних чисел і ${\mathcal {O}}_{K}$ — його кільце цілих чисел. Оскільки ${\mathcal {O}}_{K}$ є кільцем Дедекінда, то для будь-якого його простого ідеала ${\mathfrak {p}}$ і будь-якого елемента $\alpha \in K^{\times }$ можна записати $(\alpha )={\mathfrak {p}}^{n}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}^{-1},$ де $(\alpha )$ — головний ідеал породжений цим елементом, а ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ є ідеалами взаємно простими з ідеалом ${\mathfrak {p}}$ . Тоді можна ввести нормування $v_{\mathfrak {p}}(\alpha )=m$ і абсолютне значення $|\alpha |_{\mathfrak {p}}:=N({\mathfrak {p}})^{-v_{\mathfrak {p}}(\alpha )},$ де $N({\mathfrak {p}})=|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}|$ — норма ідеала ${\mathfrak {p}}$ .

Введена так функція $|\alpha |_{\mathfrak {p}}$ дійсно є абсолютним значенням і з китайської теореми про лишки випливає, що для двох різних простих ідеалів ці абсолютні значення не є еквівалентними.

Іншими прикладами абсолютного значення є модулі числа індуковані вкладенням числового поля в поле дійсних чи комплексних чисел. А саме якщо $\sigma$ є таким вкладенням то $|\alpha |_{\sigma }:=|\sigma (\alpha )|$ де в правій частині позначений звичайний модуль дійсного чи комплексного числа. Це абсолютне значення буде архімедовим. Спряжені комплексні вкладення визначають одне абсолютне значення і навпаки, якщо два різні дійсні чи комплексні вкладення задають одне абсолютне значення то вони є комплексно спряженими.

Теорема Островського для числових полів стверджує, що розглянуті вище приклади абсолютних значень є фактично єдиними для числових полів: якщо $K$ — алгебричне числове поле, то будь-яке його неархімедове нетривіальне абсолютне значення є еквівалентним $|\alpha |_{\mathfrak {p}}$ для деякого простого ідеала ${\mathfrak {p}}$ , а будь-яке архімедове абсолютне значення є еквівалентним $|\alpha |_{\sigma }$ для деякого дійсного чи комплексного вкладення $\sigma$ .

Твердження для раціональних функцій

Нехай тепер $F$ — поле і $F(T)$ — поле раціональних функцій від однієї змінної над $F$ . Оскільки $F(T)$ є полем часток кільця $F[T]$ , що є кільцем головних ідеалів, то на $F(T)$ можна ввести нормування $v_{\pi (T)}$ пов'язане із незвідним многочленом $\pi (T)$ зі старшим коефіцієнтом рівним 1. Для довільного $f\in F(T)$ його значення визначається з розкладу $f(T)=\pi ^{v_{\pi }(f)}(T)g(T)/h(T)$ , де многочлени $g(T),h(T)$ є взаємно простими з $\pi (T)$ .

Для довільного дійсного числа $c\in (0,1)$ можна задати абсолютне значення породжене введеним нормуванням: $|f|_{\pi }:=c^{v_{\pi }(f)}.$ Для різних таких $c$ абсолютні значення будуть еквівалентними, натомість для різних незвідних многочленів зі старшим коефіцієнтом рівним 1 відповідні абсолютні значення не будуть еквівалентними.

Окрім того на полі раціональних функцій можна ввести ще одне неархімедове абсолютне значення як: $|f|_{\infty }:=c^{-\operatorname {deg} (f)}.$ Це абсолютне значення не буде еквівалентним попереднім.

Теорема Островського для числових полів: будь-яке нетривіальне абсолютне значення на полі $F(T)$ , що є тривіальним на $F$ є еквівалентним або $|f|_{\pi }$ для деякого незвідного многочлена $\pi (T)$ зі старшим коефіцієнтом рівним 1 або $|f|_{\infty }.$

Архімедові абсолютні значення на полі та тілі

Теоремою Островського також називають пов'язаний результат, що описує з точністю до еквівалентності всі архімедові абсолютні значення на довільному полі чи, більш загально, тілі: якщо $|x|$ — архімедове абсолютне значення на тілі K, то існує таке вкладення K на деяке всюди щільне підтіло тіла $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ або $\mathbb {H}$ (тіло кватерніонів), що $|x|$ є еквівалентним абсолютному значенню, індукованому з $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ або $\mathbb {H}$ ; якщо K є полем то всі можливі вкладення є на поля $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ .

Див. також

Література

Cassels, J. W. S. (1986). Local Fields. London Mathematical Society Student Texts 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
Janusz, Gerald J. (1996). Algebraic Number Fields (вид. 2nd). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4.
Jacobson, Nathan (1989). Basic algebra II (вид. 2-е). W H Freeman. ISBN 0-7167-1933-9.
Ostrowski, Alexander (1916). Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x)·φ(y)=φ(xy). Acta Mathematica (вид. 2-е) 41 (1): 271–284. ISSN 0001-5962. doi:10.1007/BF02422947.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.