Теорема Пікара

Областю значень цілої функції, що не є рівною константі, є вся комплексна площина, за винятком, можливо, лише однієї точки.

Якщо ${\displaystyle f(z)}$ — однозначна голоморфна функція в околі точки ${\displaystyle z=a}$, яка є для неї суттєво особливою точкою, то в кожному околі точки ${\displaystyle z=a}$ функція ${\displaystyle f(z)}$ приймає довільне скінченне значення, за винятком, можливо, одного.

Малу теорему Пікара можна довести за допомогою теореми Ландау. Припустимо, що ціла функція ${\displaystyle f(z)}$ не має двох різних скінченних значень ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ і не є константою.

Розглянемо функцію ${\displaystyle F(z)={\frac {f(z)-a}{b-a}}}$. Вона є голоморфною у всій площині, не рівною ${\displaystyle 0}$ і ${\displaystyle 1}$ і не є константою. Отже існує точка, яку можна вважати початком координат, в якій похідна ${\displaystyle F'(0)=\beta }$ не є рівною нулю. Нехай розклад функції в степеневий ряд в околі нуля буде ${\displaystyle F(z)=\alpha +\beta z+a_{2}z^{2}+...}$.

Оскільки функція ${\displaystyle F(z)}$ є голоморфною і не рівною ${\displaystyle 0}$ і ${\displaystyle 1}$ всередині кола довільного радіуса ${\displaystyle R}$: ${\displaystyle |z|<R}$, то по теоремі Ландау маємо ${\displaystyle R<\Omega (\alpha ,\beta )}$.

Суперечність цієї нерівності очевидна, оскільки в лівій її частині є довільне число ${\displaystyle R}$, а в правій — деяка константа ${\displaystyle \Omega (\alpha ,\beta )}$.

Нехай ${\displaystyle f(z)}$ не є рівною двом скінченним значенням, за які можна взяти 0 і 1, як і у доведенні малої теореми. За допомогою дробово-лінійного перетворення незалежної змінної можна досягти того, що істотно особлива точка буде нескінченною, а функція ${\displaystyle f(z)}$ буде голоморфною і не рівною нулю і одиниці при ${\displaystyle |z|\geqslant l/2.}$

На основі теореми Сохоцького — Вейєрштраса, можливо задати нескінченну послідовність точок ${\displaystyle \lambda _{n},}$ що збігається до нескінченної точки ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lambda _{n}=\infty ,}$ і також для всіх n виконується нерівність ${\displaystyle 1/2<|f(\lambda _{n})|<1.}$

Для великих значень n функції ${\displaystyle f_{n}(z)=f(\lambda _{n}z)}$ є голоморфними в області ${\displaystyle |z|\geqslant l/2}$ і ${\displaystyle 1/2<|f_{n}(1)|<1.}$

Застосовуючи теорему Шотткі до кола з центром в точці ${\displaystyle z=1}$ радіуса 1/2, одержуємо, що ці функції в колі з центром ${\displaystyle z=1}$ радіуса 1/4 по модулю є між двома константами. Стартуючи від кола з центром ${\displaystyle z=1}$ радіуса 1/4, можливо побудувати послідовність із скінченної кількості кіл радіуса 1/4 з центрами на колі ${\displaystyle |z|=1}$ так, щоб центр кожного наступного круга лежав всередині попереднього круга, і так, щоб вони разом покривали коло ${\displaystyle |z|=1.}$

Послідовне багаторазове застосування узагальненої теореми Шотткі до кіл радіуса 1/2, із центрами в елементах послідовності, показує, що в області утвореній колами радіуса 1/4, всі функції ${\displaystyle f_{n}(z)}$ за модулем є між двома постійними числами. Зокрема ці функції на колі ${\displaystyle |z|=1}$ є обмеженими по модулю. Це твердження є рівнозначним тому, що функція ${\displaystyle f(z)}$ на всіх колах ${\displaystyle |z|=|\lambda _{n}|}$ за модулем є меншою деякої константи. Оскільки функція, що є голоморфною в кільці, включно із його границею, досягає максимуму свого модуля на границі, то ${\displaystyle |f(z)|}$ в області ${\displaystyle |z|\geqslant l/2}$ є меншим, ніж ця константа. Одержується протиріччя з теоремою Сохоцького — Вейєрштраса, що і доводить справедливість великої теореми Пікара.