Теорема Шотткі

Нехай функція ${\displaystyle f(z)}$ є голоморфною у крузі ${\displaystyle |z|<1}$ і не рівною в ньому ${\displaystyle 0}$ і ${\displaystyle 1}$. Тоді справедливою є нерівність ${\displaystyle |f(z)|<\Omega [f(0),r]}$, де функція ${\displaystyle \Omega }$ залежить тільки від ${\displaystyle f(0)}$ і ${\displaystyle r=|z|}$ і, відповідно, не залежить від конкретної функції.

Доведення має багато спільного з доведенням теореми Ландау і тут використовуються ті ж позначення.

Розглянемо функцію ${\displaystyle f(z)}$, голоморфну всередині круга ${\displaystyle |z|<1}$, що не є рівною в цьому крузі 0 і 1. Введемо допоміжну функцію

${\displaystyle F(z)=\ln \left({\sqrt {{\frac {\ln f(z)}{2\pi i}}-{\frac {\ln f(z)}{2\pi }}-1}}\right)}$.

Навпаки отримаємо:

${\displaystyle f(z)=-e^{{\frac {\pi i}{2}}(e^{2F(z)}+e^{-2F(z)})}}$.

Розглянемо також функцію

${\displaystyle \varphi (\xi )=-{\frac {F(z+(1-r)\xi )-F(z)}{(1-r)F'(z)}}=\xi +\ldots }$

де ${\displaystyle |z|=r}$.

Ця функція буде голоморфною функцією змінної ${\displaystyle \xi }$ всередині круга ${\displaystyle |\xi |<1}$, і також ${\displaystyle \varphi (0)=0,\;\varphi '(0)=1.}$

Згідно теореми Блоха для цієї функції існує круг з центром в деякій точці площини радіуса ${\displaystyle B_{1}}$, що не залежить від конкретної функції, який повністю належить її області значень. Отже, для функції ${\displaystyle F}$ існує круг з центром в деякій точці радіуса ${\displaystyle B_{1}(1-r)|F'(z)|}$, що належить області значень функції ${\displaystyle F(z+(1-r)\xi )}$ при ${\displaystyle |\xi |<1}$, а тим більше значеннями ${\displaystyle F(\xi )}$ при, ${\displaystyle |\xi |<1}$. Так як, з іншого боку, функція ${\displaystyle F(\xi )}$ при ${\displaystyle |\xi |<1}$ не дорівнює числам множини ${\displaystyle E}$, в доведенні теореми Ландау то має місце нерівність ${\displaystyle B_{1}(1-r)|F'(z)|<b}$ де ${\displaystyle b}$, як і в доведенні теореми Ландау є абсолютною константою, більшою відстані будь-якої точки комплексної площини до множини точок ${\displaystyle E}$. Останню нерівність перепишемо у вигляді

${\displaystyle |F'(z)|<{\frac {b}{B_{1}}}{\frac {1}{1-r}}}$.

Ця нерівність виведена в припущенні ${\displaystyle F'(z)\neq 0}$, але в разі ${\displaystyle F'(z)=0}$ вона є очевидною. Отже, нерівність справедливо для всіх ${\displaystyle z,|z|=r<1.}$.

Відзначимо очевидну тотожність

${\displaystyle F(z)=F(0)+\int _{0}^{z}F'(t)dt}$.

Оскільки

${\displaystyle |F'(t)|<{\frac {b}{B_{1}}}{\frac {1}{1-|t|}}\leqslant {\frac {b}{B_{1}}}{\frac {1}{1-r}}}$ при ${\displaystyle |t|\leqslant r=|z|}$

то вважаючи за шлях інтегрування прямолінійний відрізок довжини ${\displaystyle r}$, що з'єднує точки 0 і ${\displaystyle z}$, отримуємо з останньої тотожності нерівність ${\displaystyle |F(z)|<|F(0)|+{\frac {b}{B_{1}}}{\frac {1}{1-|t|}}}$

Повертаючись до даної функції ${\displaystyle f(z)}$, пов'язаної з ${\displaystyle F(z)}$ і користуючись останньою нерівністю, отримаємо: ${\displaystyle |f(z)|<L(F(0),r)}$, або, помічаючи, що ${\displaystyle F(0)}$ виражається через ${\displaystyle f(0)}$, остаточно знаходимо: ${\displaystyle |f(z)|<\Omega (f(0),r)}$ де ${\displaystyle \Omega }$ залежить тільки від ${\displaystyle f(0)}$ і ${\displaystyle r=|z|}$.

Утвердженні теореми не вказано точного виду функції у правій стороні нерівності. Після доведення теореми було дано кілька різних варіантів обмежень, зокрема Ларс Альфорс довів таку нерівність

${\displaystyle \log |f(z)|\leq {\frac {1+|z|}{1-|z|}}(7+\max(0,\log |f(0)|))}$.

Існують узагальнення теореми для функцій у колі довільного радіуса, що не є рівними деякій скінченній множині комплексний чисел (при цьому мають також виконуватися умови теореми Ландау).

• Теорема Блоха (комплексний аналіз)
• Теорема Ландау
• Теорема Пікара

• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — Москва : Наука, 1977.
• Hille E. (2002). Analytic function theory. Volume 2 (вид. 2ed., AMS). AMS Chelsea Publishing. ISBN 0821833448.
• Viola Carlo (2016). An Introduction to Special Functions. UNITEXT 102 (вид. 1). Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-41344-0.