Теорема Ландау

Якщо ${\displaystyle f(z)}$ є голоморфною функцією всередині круга ${\displaystyle |z|<R}$, що не є рівною в цьому крузі 0 і 1 і ${\displaystyle f(0)=\alpha ,\;f'(0)=\beta }$, то має місце нерівність ${\displaystyle R<\Omega (\alpha ,\beta }$), де ${\displaystyle \Omega (\alpha ,\beta )}$ залежить тільки від ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$ і не залежить від самої функції.

Розглянемо спершу функцію ${\displaystyle w=f(z)}$, голоморфну всередині круга ${\displaystyle |z|<1}$, що не є рівною 0 і 1 в цьому крузі. Побудуємо допоміжну функцію

${\displaystyle F(z)=\ln \left({\sqrt {{\frac {\ln f(z)}{2\pi i}}-{\frac {\ln f(z)}{2\pi }}-1}}\right)}$

Ця функція ${\displaystyle F(z)}$ буде голоморфною всередині круга ${\displaystyle |z|<1}$, оскільки функція ${\displaystyle f(z)}$ в цьому крузі не дорівнює нулю і не дорівнює одиниці. Крім того, функція ${\displaystyle F(z)}$ не є рівною числам виду ${\displaystyle \pm \ln({\sqrt {n}}-{\sqrt {n-1}})+2m\pi i}$, де ${\displaystyle n}$ — натуральне число, ${\displaystyle m}$ — будь-яке ціле число. Позначимо множину цих точок ${\displaystyle E}$.

Справді, розв'язуючи рівняння для ${\displaystyle F(z)}$ щодо ${\displaystyle f(z)}$, знайдемо:

${\displaystyle f(z)=-e^{{\frac {\pi i}{2}}(e^{2F(z)}+e^{-2F(z)})}}$

і, отже, вважаючи ${\displaystyle F(z)}$ рівним будь-якому значенню з множини ${\displaystyle E}$, мали б ${\displaystyle f(z)=1}$, що неможливо.

Кожна точка комплексної площини знаходиться від множини ${\displaystyle E}$ (тобто від найближчої точки цієї множини) на відстані, меншій ${\displaystyle b}$, де ${\displaystyle b}$ — деяка константа, що безпосередньо випливає з рівностей

${\displaystyle -\ln({\sqrt {n}}-{\sqrt {n-1}})={\frac {1}{\ln({\sqrt {n}}-{\sqrt {n-1}})}}=\ln({\sqrt {n}}+{\sqrt {n-1}})\to \infty }$

і

${\displaystyle \ln({\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}})-\ln({\sqrt {n}}+{\sqrt {n-1}})=\ln {\frac {{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}{{\sqrt {n}}+{\sqrt {n-1}}}}\to 0}$.

Припускаючи ${\displaystyle F'(0)\neq 0}$, розглянемо функцію:

${\displaystyle {\frac {F(z)-F(0)}{F'(0)}}=z+a_{2}z^{2}+\ldots }$.

Згідно теореми Блоха для цієї функції існує круг з центром в деякій точці деякого радіуса ${\displaystyle B_{1}}$, що не залежить від конкретної функції і всі точки якого є значеннями цієї функції. Отже, для функції ${\displaystyle F(z)}$ буде існувати круг з центром у деякій точці радіуса ${\displaystyle B_{1}|F'(0)|}$, всі точки якого є значеннями функції ${\displaystyle F(z)}$. Оскільки цей круг не може містити точок множини ${\displaystyle E}$, то повинна виконуватись нерівність

${\displaystyle B_{1}|F'(0)|<b}$

Зрозуміло, що якщо ${\displaystyle F'(0)=0}$, то це нерівність теж є справедливою.

Отже, маємо:

${\displaystyle |F'(0)|<b<{\frac {b}{B_{1}}}=C_{1}}$

де ${\displaystyle C_{1}}$ — константа, яка не залежить від функції ${\displaystyle F(z)}$. Повертаючись до даної функції ${\displaystyle f(z)}$, з виразу цієї функції через ${\displaystyle F(z)}$ і попередньої нерівності отримаємо:

${\displaystyle |f'(0)|<L(f(0))}$,

де ${\displaystyle L}$ — деяка функція, що не залежить від функції ${\displaystyle f}$.

Тепер для функції в умовах теореми введемо функцію ${\displaystyle \varphi (z)=f(Rz)}$. Функцію ${\displaystyle \varphi (z)}$ є голоморфною при ${\displaystyle |z|<1}$ і не рівною в цьому крузі 0 і 1. Застосовуючи до цієї функції останню доведену нерівність, отримуємо: ${\displaystyle |\varphi '(0)|<L(\varphi (0))}$ або, повертаючись до даної функції ${\displaystyle f(z)}$, ${\displaystyle R|f'(0)|<L(f(0))}$ або ${\displaystyle R<{\frac {L(f(0))}{|f'(0)|}}}$ звідки випливає: ${\displaystyle R<\Omega (\alpha ,\beta )}$ де ${\displaystyle \Omega (\alpha ,\beta )={\frac {L(\alpha )}{|\beta |}}}$.

В твердженні точно можна задати значення функції ${\displaystyle \Omega (\alpha ,\beta )}$. А саме в позначеннях теореми Ландау:

${\displaystyle \Omega (\alpha ,\beta )={\frac {2\operatorname {Im} \tau (\alpha )}{|\beta ||\tau '(\alpha )|}}}$,

де ${\displaystyle \tau (\lambda )}$ є гілкою оберненої функції до функції ${\displaystyle \lambda (\tau )}$ — модулярної ламбда функції, що за означенням є модулярною функцією групи дробово-лінійних перетворень ${\displaystyle \tau \to {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\;\;ad-bc=1}$, де ${\displaystyle a,d}$ є непарними цілими числами, а ${\displaystyle b,c}$ — парними.

Через тета функції модулярну ламбда функцію можна записати як ${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(0,\tau )}{\theta _{3}^{4}(0,\tau )}}}$, через еліптичні функції Веєрштраса — ${\displaystyle \lambda ={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}}\,.}$

Фундаментальною областю є регіон ${\displaystyle \operatorname {Int} T_{2}=\{\tau$ :|\tau \pm 1/2|>1/2,\;|\operatorname {Re} \;\tau |<1,\;\operatorname {Im} \;\tau >0\}} .

У області ${\displaystyle T_{2}}$також додаються граничні точки для яких ${\displaystyle \operatorname {Re} \;\tau \leqslant 0}$.

За гілку оберненої функції в теоремі Ландау — Каратеодорі можна приймати ту гілку для якої значення функції належить фундаментальній області ${\displaystyle T_{2}}$.

• Теорема Блоха (комплексний аналіз)
• Теорема Пікара

• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — Москва : Наука, 1977.
• Hille E. (2002). Analytic function theory. Volume 2 (вид. 2ed., AMS). AMS Chelsea Publishing. ISBN 0821833448.