Теорема Блоха (комплексний аналіз)

Якщо ${\displaystyle f}$ є голоморфною функцією в одиничному крузі з властивістю ${\displaystyle f'(0)=1}$, тоді образ ${\displaystyle f}$ містить круг радіуса ${\displaystyle l}$, де ${\displaystyle l\geqslant b}$ є абсолютною константою, що не залежить від конкретної функції.

Ця теорема, яка іноді також називається теоремою Блоха — Ландау, названа на честь Едмунда Ландау.

Історично значний вплив на формулювання теореми Блоха відіграла теорема Валірона:

Якщо ${\displaystyle f}$ є цілою функцією, тоді існують круги ${\displaystyle D}$ довільного радіуса і голоморфні в D функції ${\displaystyle \varphi }$, такі що${\displaystyle f(\varphi (z))=z}$ для всіх ${\displaystyle z\in D}$.

Розглянемо функцію ${\displaystyle w=f(z)}$, голоморфну у крузі ${\displaystyle B(0,R)=\{z\in {\mathbb {C} },|z|\leq R\}}$, причому ${\displaystyle |F(z)|\leqslant M}$. Нехай ${\displaystyle f(0)=0}$ і ${\displaystyle |f'(0)|=\mu }$. Тоді ${\displaystyle M\geqslant R\mu }$ і ${\displaystyle f(B(0,R))\supset B\left(0,{\frac {(R\mu )^{2}}{6M}}\right)}$.

Ввівши функцію ${\displaystyle F(z)={\frac {f(Rz)}{(Rf'(0))^{-1}}}}$, отримаємо, що ${\displaystyle F(z)}$ є голоморфною в крузі ${\displaystyle B(0,1)}$, ${\displaystyle f(0)=0}$, ${\displaystyle |f'(0)|=1}$ і в твердженні теореми ${\displaystyle M\geqslant 1}$. Відповідно доведення можна здійснити у цьому випадку.

Для доведення теореми будемо виходити з розкладу ${\displaystyle F(z)}$ в ряд Тейлора: ${\displaystyle F(z)=z+a_{2}z^{2}+\ldots }$.

Коефіцієнти розкладу задовольняють нерівності Коші ${\displaystyle |a_{i}|\leqslant {\frac {M}{r^{i}}}}$ для ${\displaystyle 0<r<1}$. Звідси, зокрема, ${\displaystyle 1=a_{1}\leqslant M}$.

На колі ${\displaystyle |z|=(4M)^{-1}}$ для модуля ${\displaystyle |F(z)|}$ отримуємо оцінку

${\displaystyle |F(z)|\geqslant |z|-\sum _{n=2}^{\infty }|a_{n}z^{n}|\geqslant (4M)^{-1}-\sum _{n=2}^{\infty }M(4M)^{-n}=(4M)^{-1}-(16M-4)^{-1}\geqslant (6M)^{-1}}$

Припустимо ${\displaystyle |w|<(6M)^{-1}}$. Тоді функція ${\displaystyle g(z)=F(z)-w}$ має нуль. Для ${\displaystyle |z|=(4M)^{-1}}$ маємо ${\displaystyle |F(z)-g(z)|=|w|<(6M)^{-1}\leqslant |f(z)|}$

Згідно теореми Руше ${\displaystyle g}$ має в крузі ${\displaystyle B(0,(4M)^{-1})}$ стільки ж коренів, скільки їх має в цьому крузі ${\displaystyle f}$. Оскільки за припущенням ${\displaystyle F(0)=0}$ то і ${\displaystyle g(z_{0})=0}$ для деякого ${\displaystyle z_{0}\in B(0,(4M)^{-1})}$. Тому ${\displaystyle f(B(0,1))\supset B(0,1/6M)}$.

Нехай ${\displaystyle f}$ є голоморфною функцією в крузі ${\displaystyle B(a,r)}$ і також ${\displaystyle |f'(z)-f'(a)|<|f'(a)|}$ для всіх ${\displaystyle z\in B(a,r)}$. Тоді ${\displaystyle f}$ є бієктивною функцією на ${\displaystyle B(a,r)}$.

Якщо ${\displaystyle z_{1}\neq z_{2}}$ — дві точки у ${\displaystyle B(a,r)}$ і ${\displaystyle \gamma =[z_{1},z_{2}]}$ — відрізок, що їх сполучає то згідно нерівності трикутника:

${\displaystyle |f(z_{1})-f(z_{2})|=\left|\int _{\gamma }f'(z)dz\right|\geqslant \left|\int _{\gamma }f'(a)dz\right|-\left|\int _{\gamma }(f'(z)-f'(a))dz\right|\geqslant |f'(a)||z_{1}-z_{2}|-\int _{\gamma }\left|\left(f'(z)-f'(a)\right)\right||dz|}$.

Зважаючи на гіпотезу ${\displaystyle |f(z_{1})-f(z_{2})|>0}$, тобто ${\displaystyle f(z_{1})\neq f(z_{2})}$ і функція є ін'єктивною.

Для ${\displaystyle 0\leqslant r\leqslant 1}$ позначимо ${\displaystyle K(r)=\max\{|f'(z):|z|=r\}}$ і ${\displaystyle h(r)=(1-r)K(r)}$. Тоді ${\displaystyle h}$ є неперервною функцією і ${\displaystyle h(0)=1,h(1)=0}$. Нехай ${\displaystyle r_{0}=\sup\{r:h(r)=1\}}$. Тоді ${\displaystyle h(r_{0})=1,r_{0}<1}$ і для всіх ${\displaystyle r>r_{0}}$ виконується нерівність ${\displaystyle h(r)<1}$.

Нехай число ${\displaystyle a}$ таке, що ${\displaystyle |a|=r_{0}}$ і ${\displaystyle |f'(a)=K(r_{0})|}$. Тоді ${\displaystyle |f'(a)|=(1-r_{0})^{-1}}$.

Якщо ${\displaystyle |z-a|<1/2(1-r_{0})=\rho _{0},}$ то ${\displaystyle |z|<1/2(1+r_{0})}$. Оскільки ${\displaystyle r_{0}<1/2(1+r_{0})}$ то з означення ${\displaystyle r_{0}}$ отримуємо:

${\displaystyle |f'(z)|\leqslant K(1/2(1+r_{0}))={\frac {h(1/2(1+r_{0}))}{(1-1/2(1+r_{0}))^{-1}}}<(1-1/2(1+r_{0}))^{-1}={\frac {1}{\rho _{0}}}}$

для ${\displaystyle |z-a|<\rho _{0}}$.

З попереднього ${\displaystyle |f'(z)-f'(a)|\leqslant |f'(z)|+|f'(a)|<3/2\rho _{0}}$.

Згідно леми Шварца звідси випливає, що ${\displaystyle |f'(z)-f'(a)|<{\frac {3|z-a|}{2\rho _{0}^{2}}}}$ для ${\displaystyle z\in B(a,\rho _{0})}$.

Тому якщо ${\displaystyle z\in S=B(a,1/3\rho _{0})}$ то ${\displaystyle |f'(z)-f'(a)|<{\frac {1}{2\rho _{0}}}=|f'(a)|}$. З леми 2 випливає що ${\displaystyle f}$ є ін'єктивним на ${\displaystyle S}$.

Визначимо ${\displaystyle g:B(0,1/3\rho _{0})\to \mathbb {C} }$ як ${\displaystyle g(z)=f(z+a)-f(a)}$. Тоді ${\displaystyle g(0)=0,\;|g'(0)|=|f'(a)|=(2\rho _{0})^{-1}}$. Якщо ${\displaystyle z\in B(a,1/3\rho _{0})}$ тоді відрізок ${\displaystyle \gamma =[a,a+z]}$ лежить у ${\displaystyle S\subset B(a,\rho _{0})}$.

Тому з попереднього ${\displaystyle |g(z)|=\left|\int _{\gamma }f'(w)dw\right|\leqslant {\frac {|z|}{\rho _{0}}}<1/3}$.

З леми 1 отримуємо, що ${\displaystyle g(B(0,1/3\rho _{0}))\supset B(0,\sigma )}$ де ${\displaystyle \;\;\sigma {\frac {(1/3\rho _{0})^{2}(2\rho _{0})^{-2}}{2}}={\frac {1}{72}}}$.

Якщо перевести це твердження для ${\displaystyle f}$ то ${\displaystyle f(S)\supset B(f(a),1/72)}$, що завершує доведення.