Теорема Шарковського

Теоре́ма Шарко́вського — теорема з теорії динамічних систем, доведена в 1964 році Олександром Миколайовичем Шарковським. Теорема була першим загальним результатом теорії динамічних систем, при ітеруванні відображень відрізка в себе.

Нехай функція f відображає відрізок [0,1] в себе. Як відомо з теореми про проміжне значення витоку (теорема Банаха про нерухому точку) така функція має нерухому точку (тобто таку точку x, що f(x) = x). Розглянемо такий порядок на множині натуральних чисел:

3 < 5 < 7 < 9 < … < 2•3 < 2•5 < 2•7 < 2•9 < … < 2²•3 < 2²•5 < 2²•7 < 2²•9 < … < 2^n < … < 2³ < 2² < 2¹ < 1

Тоді якщо у функції f є нерухома точка степеня k (тобто існує x такий, що f^k (x) = x, але f^i (x) ≠ x, i = 1, …, k-1, де f^k — композиція k функції f), то у цієї функції є нерухомі точки усіх степенів, які більші ніж k в цьому порядку.