Функційне рівняння

• Функціональне рівняння

${\displaystyle f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)}$,

де ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — гамма-функція Ейлера, задовольняє дзета-функція Рімана ${\displaystyle \zeta }$.

• Гамма-функція є єдиним розв'язком наступної системи з трьох рівнянь:

${\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x}\,\!}$

${\displaystyle f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)}$

${\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!\,\,\,}$ (формула доповнення Ейлера)

• Функціональне рівняння:

${\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$,

де ${\displaystyle a,b,c,d}$ є цілими числами, які задовольняють нерівності ${\displaystyle ad-bc=1}$, тобто:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}\,=1}$,

визначає ${\displaystyle f}$ як модулярну форму порядку ${\displaystyle k}$.

• Функціональні рівняння Коші:
  • ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$ — задовольняють всі лінійні однорідні функції ${\displaystyle f(x)=ax}$,
  • ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ — задовольняють всі показникові функції ${\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha x\right)=a^{x}}$,
  • ${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)}$ — задовольняють всі логарифмічні функції ${\displaystyle f(x)=\alpha \log \left(x\right)=\log _{a}\left(x\right)}$,
  • ${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)}$ — задовольняють всі степеневі функції ${\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha \log \left(x\right)\right)=x^{a}}$.

Функціональні рівняння Коші зводяться одне до одного. Так, рівняння ${\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})}$ зводиться до рівняння ${\displaystyle g(y_{1}+y_{2})=g(y_{1})+g(y_{2})}$ після заміни ${\displaystyle g(y)=\log \left|f(\exp y)\right|}$ (для цього, очевидно, потрібно, щоб ${\displaystyle f(x)}$ не була тотожним нулем). В класі неперервних функцій і в класі монотонних функцій наведені розв'язки — єдині, якщо не рахувати вироджені розв'язки ${\displaystyle f(x)\equiv 0.}$ Однак в більш широких класах функцій можливі вельми екзотичні розв'язки, див. статтю «Базис Гамеля».

• Інші:
  • ${\displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]}$ — квадратичне рівняння або правило паралелограма, задовольняє ${\displaystyle f(x)=kx^{2}}$,
  • ${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)={\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$ — рівняння Єнсена, задовольняють всі лінійні функції ${\displaystyle f(x)=ax+b}$,
  • ${\displaystyle f(x+y)f(x-y)=f(x)^{2}}$ — рівняння Лобачевського (версія рівняння Єнсена), задовольняє ${\displaystyle f(x)=ac^{x}}$,
  • ${\displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)f(y)]}$ — рівняння Даламбера,
  • ${\displaystyle f(h(x))=f(x)+1}$ — рівняння Абеля,
  • ${\displaystyle f(h(x))=cf(x)}$ — рівняння Шрьодера, розв'язком є функція Кьонігса, пов'язана з функцією ${\displaystyle \textstyle h(x)}$.

Частковим випадком функційних рівнянь є рекурентне співвідношення, що містить невідому функцію від цілих чисел і оператор зсуву. Приклад рекурентного співвідношення:

${\displaystyle a(n)=3a(n-1)+4a(n-2).}$

Лінійні рекурентні співвідношення

${\displaystyle a(n)=\sum _{i=1,k}c_{i}\cdot a(n-i)\!}$

(де ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{k}}$ — константи, що не залежать від ${\displaystyle n}$) мають теорію, аналогом якої є теорія лінійних диференціальних рівнянь. Так, для наведеного вище рекурентного співвідношення достатньо знайти два лінійно незалежних розв'язки, всі інші розв'язки будуть їх лінійними комбінаціями.

Щоб знайти ці розв'язки, потрібно підставити в рекурентне співвідношення пробну функцію ${\displaystyle a(n)=\lambda ^{n}}$ з невизначеним параметром ${\displaystyle \lambda }$ і спробувати знайти ті ${\displaystyle \lambda }$, при яких буде задовольнятись дане рекурентне співвідношення. Для наведеного прикладу отримаємо квадратне рівняння ${\displaystyle \lambda ^{2}=3\lambda +4}$ з двома різними коренями ${\displaystyle \lambda =-1}$ і ${\displaystyle \lambda =4;}$ тому загальним розв'язком для даного рекурентного співвідношення буде формула ${\displaystyle a(n)=d_{1}4^{n}+d_{2}(-1)^{n}}$ (константи ${\displaystyle d_{1}}$ і ${\displaystyle d_{2}}$ підбираються так, щоб при ${\displaystyle n=1}$ і ${\displaystyle n=2}$ формула давала потрібні значення для величин ${\displaystyle a(1)}$ і ${\displaystyle a(2)}$). У випадку кратних коренів многочлена додатковими пробними розв'язками слугують функції ${\displaystyle n\lambda ^{n},}$ ${\displaystyle n^{2}\lambda ^{n}}$ і т. д.

Найвідомішим рекурентним співвідношенням, мабуть, є числа Фібоначчі ${\displaystyle a(n)=a(n-1)+a(n-2).}$

Існують деякі загальні методи розв'язування функціональних рівнянь.

Зокрема, корисним може виявитися застосування поняття про інволюцію, тобто, використання властивостей функцій, для яких ${\displaystyle f(f(x))=x}$; найпростіші інволюції:

${\displaystyle f(x)=-x}$, ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$, ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}+1}$, ${\displaystyle f(x)=1-x}$.

Наприклад, для розв'язування рівняння:

${\displaystyle f^{2}(x+y)=f^{2}(x)+f^{2}(y)}$

для всіх ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ і ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to R}$, покладемо ${\displaystyle x=y=0}$: ${\displaystyle f^{2}(0)=f^{2}(0)+f^{2}(0)}$. Тоді ${\displaystyle f^{2}(0)=0}$ і ${\displaystyle f(0)=0}$. Далі, поклавши ${\displaystyle y=-x}$:

${\displaystyle f^{2}(x-x)=f^{2}(x)+f^{2}(-x)\,}$

${\displaystyle f^{2}(0)=f^{2}(x)+f^{2}(-x)\,}$

${\displaystyle 0=f^{2}(x)+f^{2}(-x)\,}$

Квадрат дійсного числа невід'ємний, і сума невід'ємних чисел дорівнює нулю тоді і тільки тоді коли обидва числа рівні 0. Отже ${\displaystyle f^{2}(x)=0}$ для всіх ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$ є єдиним розв'язком цього рівняння.

• Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
• Kuczma M. On the functional equation φn(x) = g(x). Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175.
• Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
• Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.

• Functional Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Functional Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• IMO Compendium text on functional equations in problem solving.