Фігури Ліссажу

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x(t)=A\sin(at+\delta )\\&y(t)=B\sin(bt)\\\end{aligned}}\right.}$

де A,B — амплітуди коливань,a,b — частоти,δ — зсув фаз.

Вигляд кривої сильно залежить від співвідношення a/b. Коли співвідношення дорівнює 1, фігура Ліссажу має вигляд еліпсу, за певних умов вона має вигляд кола (A = B, δ = π/2 радіан) і лінії (δ = 0). Інший приклад фігури Ліссажу — парабола (a/b = 2, δ = π/2). Інші співвідношення продукують складніші фігури, які є замкненими за умови a/b — раціональне число. Припускається, що візуальна форма цих кривих є часто тривимірним вузлом, і насправді, проекції на площину багатьох вузлів, включаючи вузли Ліссажу, є фігурами Ліссажу.

Фігури Ліссажу, де a = 1, b = N (N — натуральне число) і

${\displaystyle \delta ={\frac {N-1}{N}}{\frac {\pi }{2}}\ }$

є поліномами Чебишева першого роду степеня N.

Нижче наведені приклади фігур Ліссажу з δ = π/2, непарного натурального числа a, парного натурального числа b, і |a − b| = 1.

До початку періоду сучасної комп'ютерної графіки фігури Ліссажу зазвичай генерувались з допомогою спеціального механічного пристрою, що отримав назву гармонограф, пізніше — електронного осцилографа (на малюнку). Дві синусоїди, зсунуті по фазі, подавались на входи осцилоскопа в X-Y режимі і фазове взаємовідношення між сигналами являє собою фігуру Ліссажу.

Фігура Ліссажу на екрані осцилографа

Якщо подати на входи «X» і «Y» осцилографа сигнали кратних або рівних(близьких) частот, то на екрані можна побачити фігури Ліссажу. Цей метод широко використовується для порівняння частот і фаз двох джерел сигналів і для підлаштовування одного джерела під частоту іншого. Якщо коливання, які здійснює точка, відбуваються не за гармонійним, а за більш складним законом, але з однаковим періодом, то виходять замкнуті траєкторії, аналогічні фігурам Лісажу, але спотвореної форми. Коли частоти близькі, але не рівні одна одній, фігура на екрані обертається, причому період циклу обертання є величиною, оберненою різниці частот, наприклад, період обороту дорівнює 2с — різниця в частотах сигналів дорівнює 0,5 Гц. При рівності частот фігура застигає нерухомо, в будь-якій фазі, однак на практиці, за рахунок короткочасних нестабільностей сигналів, фігура на екрані осцилографа зазвичай трохи тремтить. Використовувати для порівняння можна не лише однакові частоти, але і ті, що знаходяться у кратному відношенні, наприклад, якщо зразкове джерело може видавати частоту тільки 5 МГц, а джерело, що налаштовуєтья — 2,5 МГц.

• Фігури Лісажу іноді використовуються в дизайні, як логотипи. Наприклад:
  • Australian Broadcasting Corporation (a = 1, b = 3, δ = π/2)
  • Лабораторія Лінкольна в MIT (a = 4, b = 3, δ = 0)[1]
  • Університет електрокомунікацій, Японія (a = 3, b = 4, δ = π/2).

• Коливання
• Частота періодичного процесу

• Справочник по радиоэлектронным устройствам. В 2-х томах; Под ред. Д. П. Линде — М.: Энергия, 1978
• Справочник по физике. Яворский Б. М., Детлаф А. А. — М.: Наука, 1981
• гол.ред. А. М. Прохоров. Лиссажу фигуры Физическая энциклопедия. — Москва : "Советская энциклопедия", 1988. — Т. 2. — С. 597-598. — ISBN 5-85270-034-7.

• On-line побудова фігур Ліссажу