*-алгебра

*-кільце — кільце з унарною операцією * яка є

• антиавтоморфізмом, тобто

${\displaystyle \ (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$

${\displaystyle \ (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$

${\displaystyle \ 1^{*}=1}$

• та інволюцією, тобто

${\displaystyle \ (x^{*})^{*}=x.}$

Таке кільце ще називається — кільце з інволюцією.

*-алгебра A це *-кільце, що є асоціативною алгеброю над іншим *-кільцем R, з узгодженням операції * в ${\displaystyle R\subset A.}$

Базове *-кільце це, зазвичай, комплексні числа (де * — комплексне спряження).

Тоді * є спряжено-лінійним, тобто

${\displaystyle (\lambda x+\mu y)^{*}=\lambda ^{*}x^{*}+\mu ^{*}y^{*}\quad \lambda ,\mu \in R;\;\;x,y\in A}$.

*-гомоморфізм ${\displaystyle \ f:A\to B}$ є гомоморфізм алгебр що відображає інволюцію в A на інволюцію в B, тобто:

${\displaystyle f(x^{*})=f(x)^{*}\quad \forall x\in A.}$

• Елементи для яких ${\displaystyle \ x^{*}=x}$ називаються само-спряженими, симетричними або ермітовими.
• Елементи для яких ${\displaystyle \ x^{*}=-x}$ називаються косо-спряженими, анти-симетричними або анти-ермітовими.
• Можна визначити сесквілінійну форму за допомогою операції * у виді ${\displaystyle \phi (x,y)=x^{*}\cdot y}$.

C*-алгебра — Банахова *-алгебра, для якої виконується C*–властивість:

${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|,}$

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|.}$

Обидві умови є еквівалентними.

Також вони еквівалентні В*–властивості

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2}.}$

• Найвідомішим прикладом є комплексні числа ${\displaystyle \mathbb {C} }$ з операцією спряження.
• За допомогою процедури Кейлі-Діксона утворюються алгебри з операцією спряження: комплексні числа, кватерніони, октави.
• Квадратні матриці з комплексними елементами з операцією ермітового спряження.
• Ермітове спряження лінійного оператора в Гільбертовому просторі.

Багато властивостей спряження для комплексних чисел зберігаються в *-алгебрах:

• Якщо для 2 в алгебрі існує обернений елемент, тоді ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1-*)}$ та ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1+*)}$ є ортогональними ідемпотентами. Якщо їх вибрати в базис, то алгебра як векторний простір розкладається в пряму суму підпросторів з симетричних та анти-симетричних (ермітових та анти-ермітових) елементів.
• Ермітові елементи *-алгебри утворюють алгебру Йордана.
• Анти-ермітові елементи *-алгебри утворюють алгебру Лі.

• Нормована алгебра з діленням

• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)