G-область

Область цілісності ${\displaystyle A}$ є G-областю якщо і тільки якщо для неї виконуються еквівалентні умови:

• Його поле часток є простим розширенням області ${\displaystyle A}$
• Його поле часток є скінченним розширенням області ${\displaystyle A}$
• Перетин його ненульових простих ідеалів є ненульовим
• Існує елемент ${\displaystyle y\in A}$ такий, що для кожного ненульового ідеалу ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle y^{n}\in I}$ для деякого ${\displaystyle n}$.[1]

Дані характеристики G-області є еквівалентними. Справді з першої властивості тривіально випливає друга. Якщо натомість ${\displaystyle K=A[x_{1}/y_{1},\ldots ,x_{n}/y_{n}]}$, то позначивши ${\displaystyle y=y_{1},\ldots ,y_{n}}$ також ${\displaystyle K=A[1/y]}$ і розширення є простим.

Якщо тепер ${\displaystyle K=A[1/y]}$ то для будь-якого простого ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ у ${\displaystyle A}$ і ненульового елемента ${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}}$ у полі ${\displaystyle K}$ виконується рівність ${\displaystyle x^{-1}=zy^{-n}}$ для деяких ${\displaystyle z\in A,\;n\in \mathbb {N} }$. Тоді ${\displaystyle y^{n}=zx\in {\mathfrak {p}}}$, тому ${\displaystyle y\in {\mathfrak {p}}}$. Тобто ${\displaystyle y}$ належить перетину усіх простих ідеалів. Тобто з першої характеристики випливає третя.

Якщо при цьому усі степені ${\displaystyle y}$ не належать деякому ненульовому ідеалу ${\displaystyle I}$, то згідно теореми віддільності у статті Простий ідеал існує також простий ідеал якому не належать усі степені ${\displaystyle y}$. Тобто з третьої характеристики випливає четверта.

Нехай тепер виконується четверта властивість і ${\displaystyle x\in A}$ — довільний ненульовий елемент. Тоді головний ідеал ${\displaystyle (x)}$ містить деякий степінь елемента ${\displaystyle y}$. Тобто для деяких ${\displaystyle z\in A,\;n\in \mathbb {N} }$ виконується рівність ${\displaystyle y^{n}=xz}$ і тому у полі часток ${\displaystyle x^{-1}=zy^{-n}}$. Зважаючи на довільність вибору елемента ${\displaystyle x}$ отримуємо, що з четвертої властивості випливає перша.

• Будь-яке поле є G-областю.
• Кільце головних ідеалів є G-областю тоді і тільки тоді коли в ній є скінченна кількість простих елементів (з точністю до множення на оборотні елементи).
• Якщо ${\displaystyle A}$ є областю цілісності то кільце многочленів ${\displaystyle A[x]}$ не є G-областю.

Нехай ${\displaystyle K}$ — поле часток кільця ${\displaystyle A}$. Якщо ${\displaystyle A[x]}$ є G-областю, то G-областю є також ${\displaystyle K[x]}$. Кільце ${\displaystyle K[x]}$ є кільцем головних ідеалів. Тому достатньо довести, що у ${\displaystyle K[x]}$ є нескінченна кількість простих елементів. Припустимо, що ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ — усі незвідні многочлени зі старшим коефіцієнтом 1. Тоді многочлен ${\displaystyle q=p_{1}\cdot \ldots p_{n}+1}$ не ділиться на жоден із незвідних многочленів, що приводить до суперечності. Тому множина має бути нескінченною і ${\displaystyle A[x]}$ не може бути G-областю.

• Радикал ідеалу  I є перетином всіх G-ідеалів, що містять I.[2]

Кожен елемент радикала належить усім простим ідеалам, що містять I, зокрема і всім G-ідеалам, що містять I. Навпаки якщо елемент ${\displaystyle x}$ не належить радикалу ідеалу, то максимальний елемент множини ідеалів, що містять I і не перетинаються із мультиплікативною системою ${\displaystyle x^{n}}$ буде деяким простим ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Образ елемента ${\displaystyle x}$ у фактор-кільці ${\displaystyle A/{\mathfrak {p}}}$ належатиме всім простим ідеалам (зважаючи на максимальність ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ серед простих ідеалів, що не містять ${\displaystyle x}$), а тому ${\displaystyle A/{\mathfrak {p}}}$ є G-областю і ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — G-ідеалом.

• Якщо область цілісності A із полем часток K є G-областю то будь-яке кільце R таке що ${\displaystyle A\subset R\subset K}$ теж є G-областю.
• Кожен максимальний ідеал є G-ідеалом, оскільки фактор-кільце по максимальному ідеалу є полем. G-ідеали є єдиними максимальними ідеалами у кільці Джекобсона, і навпаки кільце є кільцем Джекобсона якщо всі максимальні ідеали є G-ідеалами.[3]
• Якщо ${\displaystyle B\supset A}$, є розширенням областей і ${\displaystyle A}$ є G-областю, то ${\displaystyle B}$ є алгебричним над ${\displaystyle R}$ якщо і тільки якщо кожне кільце R таке що ${\displaystyle A\subset R\subset K}$ є G-областю.[4]
• Якщо ${\displaystyle A}$ є областю цілісності і кільце ${\displaystyle A[u]}$ є G-областю то ${\displaystyle A}$ теж є G-областю, а елемент ${\displaystyle u}$ — алгебричний над ${\displaystyle A}$.
• Область цілісності ${\displaystyle A}$ є G-областю тоді і тільки тоді коли у кільці многочленів ${\displaystyle A[x]}$ існує максимальний ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ для якого ${\displaystyle A\cup {\mathfrak {m}}=\emptyset }$.
• Нетерівська область цілісності є G-областю якщо і тільки якщо кожен її простий ідеал є максимальним і вона має скінченну кількість максимальних ідеалів (чи, еквівалентно, простих ідеалів).[3]

• Кільце Джекобсона

• Kaplansky, Irving (1974). Commutative rings (вид. Revised). University of Chicago Press. ISBN 0-226-42454-5. MR 0345945.
• Picavet, Gabriel (1999). About GCD domains. У Dobbs, David E. Advances in commutative ring theory. Proceedings of the 3rd international conference, Fez, Morocco. Lect. Notes Pure Appl. Math. 205. New York, NY: Marcel Dekker. с. 501–519. ISBN 0824771478. Zbl 0982.13012.