Булеве кільце

Булеве кільце — кільце з одиницею, всі елементи якого є ідемпотентами. Тобто x² = x для всіх елементів кільця.

Всі булеві кільця є комутативними кільцями характеристики 2, оскільки x + x = 0.

Доведення: 0 = (x + x)² - (x + x)= x + x.

Зв'язок з булевою алгеброю

Назва «булеве кільце» пояснюється тим, що кожне булеве кільце еквівалентне булевій алгебрі і навпаки:

Операції булевого кільця:
$a+b=(a\land {\neg }b)\lor (b\land {\neg }a)$

$ab=a\land b$

Операції булевої алгебри
$a\lor b=a+b+ab$

$a\land b=ab$

$\lnot a=1+a$

Нуль кільця збігається з 0 булевої алгебри, нейтральний елемент множення збігається з 1 булевої алгебри.

Відображення однієї булевої алгебри в іншу є гомоморфізмом тоді і тільки тоді, коли коли гомоморфізмом буде відображення відповідних кілець. Тобто, категорії булевих кілець та булевих алгебр є еквівалентними.

Ідеал, простий ідеал, максимальний ідеал (теорія кілець) булевого кільця збігається з ідеалом простим ідеалом, максимальним ідеалом (теорія порядку) його булевої алгебри.

Представлення булевих алгебр

Кожна скінченна булева алгебра ізоморфна алгебрі всіх підмножин скінченної множини. Тому число елементів булевої алгебри завжди є ступенем 2.

Булеве кільце еквівалентне полю множин.

Див. також

Булева алгебра з двома елементами

Джерела

Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.