Бігармонічна функція

Бігармонічна функція — функція ${\displaystyle f(x)=f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ дійсних змінних, визначена у області D евклідового простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\,n\geq 2}$, що має неперервні часткові похідні 4-го порядку включно і що задовольняє в D рівнянню:

${\displaystyle \nabla ^{4}f=\Delta ^{2}f=0}$

де ${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла, ${\displaystyle \Delta \,}$ — оператор Лапласа.

Дане рівняння називається бігармонічним рівнянням. У декартовій системі координат у випадку трьох змінних рівняння має вигляд:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}f}{\partial x^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}f}{\partial z^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}f}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+2{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y^{2}\partial z^{2}}}+2{\frac {\partial ^{4}f}{\partial x^{2}\partial z^{2}}}=0.}$

В полярних координатах:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}f}{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}f}{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}f}{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}=0.}$

Клас бігармонічних функцій включає клас гармонічних функцій і є підкласом класу полігармонічних функцій. Кожна бігармонічна функція є аналітичною функцією координат x_i.

Найбільше значення з погляду застосувань мають бігармонічні функції ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})}$ двох змінних. Такі бігармонічні функції записуються за допомогою гармонічних функцій f₁, f₂ або g₁, g₂ у вигляді

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}f_{1}(x_{1},x_{2})+f_{2}(x_{1},x_{2})\,}$

або

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=(r^{2}-r_{0}^{2})g_{1}(x_{1},x_{2})+g_{2}(x_{1},x_{2})\,}$

де ${\displaystyle r^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2},}$ а ${\displaystyle r_{0}^{2}}$ — константа.

Основна крайова задача для бігармонічних функцій полягає в наступному: знайти бігармонічну функцію у області D, неперервну разом з похідними 1-го порядку в замкнутій області ${\displaystyle {\bar {D}}=D\cup C}$ , що задовольняє на границі C умовам

${\displaystyle f|_{C}=f_{1}(s),\quad {\frac {\partial f}{\partial \nu }}{\Bigg |}_{C}=f_{2}(s)}$

де ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \nu }}}$ — похідна по нормалі до C, f₁(s), f₂(s) — задані неперервні функції довжини дуги s на контурі C.

Вказані вище подання бігармонічних функцій дозволяють одержати розв'язки крайової задачі в явному вигляді у випадку круга D виходячи з інтеграла Пуассона для гармонічних функцій.

Бігармонічні функції двох змінних допускають також запис

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=\operatorname {Re} ({\bar {z}}\phi (z)+\psi (z))={\frac {1}{2}}({\bar {z}}\phi (z)+z{\overline {\phi (z)}}+\psi (z)+{\overline {\psi (z)}}),\quad {\bar {z}}=x_{1}-ix_{2}}$

за допомогою двох аналітичних функцій ${\displaystyle \phi (z),\psi (z)}$ комплексної змінної ${\displaystyle z=x_{1}+ix_{2}}$. Це подання дозволяє звести крайову задачу для довільної області D до системи крайових задач для аналітичних функцій, метод розв'язку якої детально розроблений Р. В. Колосовим і Н. І. Мусхелішвілі. Ця методика одержала розвиток при розв'язуванні різних плоских задач теорії пружності, в яких основним бігармонічними функціями є функція напружень і функція Ейрі.