Глибина (теорія кілець)

В комутативній алгебрі глибиною модуля називається одна з важливих характеристик модуля над комутативним кільцем. Особливо важливим є випадок модулів над локальними нетеровими кільцями. Поняття вперше було введено Осландером і Бухсбаумом у 1956 році

Означення

Нехай — комутативне кільце Нетер і скінченнопороджений R-модуль. Послідовність елементів , називається M-регулярною, якщо для всіх елемент не є дільником нуля в модулі

тобто з того, що , де — деякий елемент вказаного модуля, випливає, що .

I-глибина модуля дорівнює довжині найбільшої М-регулярної послідовності, складеної з елементів ідеала . У випадку локального кільця за приймають зазвичай максимальний ідеал і тоді використовується термін глибина модуля .

Еквівалентно I-глибиною модуля називається найменше ціле число , для якого

Для позначення глибини модуля використовують або .

Властивості

  • Нехай — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом і — скінченнопороджений R-модуль. Тоді правильною є нерівність
де в правій частині є розмірність Круля для модуля, що за означенням рівна . Кільця для яких глибина рівна розмірності Круля називаються кільцями Коена — Маколея.
  • Справедливою є наступна формула:
де позначає простий ідеал кільця , а розглядається як модуль над локальним кільцем .
  • Нехай — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом і — скінченнопороджений R-модуль. Тоді якщо і тільки якщо є асоційованим простим ідеалом модуля
  • Нехай — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом і — скінченнопороджений R-модуль. Нехай елемент не є дільником нуля для модуля Тоді
  • Нехай — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом і — скінченнопороджений R-модуль. Якщо поповнення відповідно кільця і модуля по -адичній фільтрації, то .
  • Твердження рівнозначно тому, що модулі локальних когомологій дорівнюють нулю при .
  • Нехай точна послідовність скінченнопороджених модулів над комутативним нетеровим кільцем і — ідеал кільця, для якого . Тоді:
Якщо то .
Якщо то .
Якщо то .

Див. також

Джерела

  • Auslander, Maurice; Buchsbaum, David A. (1956). Homological dimension in Noetherian rings. Proc. Nat. Acad. Sci. USA 42: 36–38.
  • Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen–Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1
  • Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.