Розмірність Круля

Якщо P₀, P₁, ... , P_n — прості ідеали кільця такі що ${\displaystyle P_{0}\subsetneq P_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq P_{n}}$, то кажуть, що ці ідеали утворюють ланцюг довжини n. Розмірність Круля — супремум довжин ланцюгів головних ідеалів.

• У кільці (Z/8Z)[x,y,z] ми можемо розглядати ланцюг

${\displaystyle (2)\subsetneq (2,x)\subsetneq (2,x,y)\subsetneq (2,x,y,z)}$

Кожен з цих ідеалів головний, так що розмірність Круля (Z/8Z)[x, y, z] є як мінімум 3. Фактично розмірність цього кільця рівна точно 3.

• Довільне поле k має розмірність Круля 0.
• Кільце многочленів ${\displaystyle k[x_{1},...,x_{n}]}$ і кільце формальних степеневих рядів ${\displaystyle k[[x_{1},...,x_{n}]]}$ над деяким полем k мають розмірність Круля n. Більш загально для довільного нетерового комутативного кільця R для розмірності Круля виконується рівність ${\displaystyle \dim(R[x_{1},\ldots ,x_{n}])=\dim(R[[x_{1},\ldots ,x_{n}]])=\dim R+n.}$
• Для довільного комутативного кільця R розмірність Круля кільця многочленів задовольняє нерівність: ${\displaystyle \dim(R)+1\leqslant \dim(R[x_{1},\ldots ,x_{n}])\leqslant 2\dim(R)+1.}$ Для кільця формальних степеневих рядів у цьому випадку виконується лише нерівність ${\displaystyle \dim(R)+1\leqslant \dim(R[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]).}$ Натомість існують кільця скінченної розмірності Круля над якими кільце формальних степеневих рядів має нескінченну розмірність.

Зокрема кільце ${\displaystyle R[[x]]}$ має нескінченну розмірність тоді і тільки тоді, коли існує простий ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ для якого ${\displaystyle {\mathfrak {p}}[[x]]\neq {\sqrt {{\mathfrak {p}}R[[x]]}}.}$ Тут ${\displaystyle {\mathfrak {p}}[[x]]}$ позначає формальні степеневі ряди із коефіцієнтами із ${\displaystyle {\mathfrak {p}},}$ а ${\displaystyle {\sqrt {{\mathfrak {p}}R[[x]]}}}$ — радикал ідеалу у ${\displaystyle R[[x]]}$ породженого ${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$ Зокрема, якщо R — кільце розмірності 0, то розмірність ${\displaystyle R[[x]]}$ рівна або 1 або нескінченності.

Прикладом скінченновимірних комутативних кілець для якого ${\displaystyle R[[x]]}$ має нескінченну розмірність є кільця недискретного нормування розмірності 1. Іншим прикладом є ${\displaystyle R=\mathbb {Q} [x_{1},x_{2},\ldots ]/(x_{1}^{n},x_{2}^{n},\ldots ),\ n\geqslant 2,}$ яке є кільцем розмірності 0, а також всі скінченновимірні кільця спектр яких не є нетеровим топологічним простором.[1]

• Кільце головних ідеалів, що не є полем, має розмірність Круля 1.
• Розмірність довільного кільця Артіна є рівною 0.
• Розмірність довільного кільця Дедекінда є рівною 1.
• Локальне кільце має нульову розмірність тоді і тільки тоді, коли всі елементи його максимального ідеалу є нільпотентними.
• Приклад Наґати. Нехай ${\displaystyle R=k[x_{1},...,x_{n},...]}$ — кільце многочленів зі зліченною кількістю змінних. Розглянемо послідовність простих ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}=(x_{1}),\ {\mathfrak {p}}_{2}=(x_{2},x_{3}),\ {\mathfrak {p}}_{3}=(x_{4},x_{5},x_{6}),\ \ldots }$Тоді ${\displaystyle S=R\setminus \cup {\mathfrak {p}}_{i}}$є мультиплікативною множиною і можна розглянути локалізацію ${\displaystyle A=S^{-1}R.}$Нехай також ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{i}=S^{-1}{\mathfrak {p}}_{i}.}$Множина ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{i}}$є множиною максимальних ідеалів кільця A. Справді ідеали кільця A є у бієктивній відповідності із ідеалами кільця R, що містяться у ${\displaystyle \cup {\mathfrak {p}}_{i}.}$Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$є таким ненульовим ідеалом то ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}_{i}}$ для деякого i. Справді, якщо це не так, то з запису ${\displaystyle \bigcup {\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}_{1}\cup \ldots {\mathfrak {p}}_{n}\cup \bigcup _{k>n}{\mathfrak {p}}_{k}}$ і леми про уникнення простих ідеалів випливає що ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset \bigcup _{k>n}{\mathfrak {p}}_{k}}$ для всіх n. Але перетин таких множин є рівним нуля, що суперечить припущенню.

Будь-який ненульовий елемент кільця A належить лише скінченній кількості максимальних ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{i}}$, адже будь-який ненульовий елемент кільця R належить лише скінченній кількості ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$, що випливає з того, що будь-який елемент кільця R є елементом деякого підкільця зі скінченною кількістю змінних і тому не може містити породжуючих елементів для всіх ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}.}$

Кожна локалізація ${\displaystyle A_{{\mathfrak {m}}_{i}}=R_{{\mathfrak {p}}_{i}}}$ є нетеровим кільцем. Дійсно якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}=(x_{k},\ldots ,x_{k+i-1}),}$ то ${\displaystyle R_{{\mathfrak {p}}_{i}}=\simeq K[x_{k},\ldots ,x_{k+i-1}]_{(x_{k},\ldots ,x_{k+i-1})},}$ де K — поле часток підкільця многочленів у R, що не містять змінних ${\displaystyle x_{k},\ldots ,x_{k+i-1}.}$ Твердження отримується з того, що кільце многочленів над полем (зі скінченною кількістю змінних) і будь-яка його локалізація є нетеровими кільцями.

Для довільного комутативного кільця R, якщо кожен його ненульовий елемент міститься лише у скінченній кількості максимальних ідеалів і локалізація по кожному максимальному кільці є кільцем Нетер, то і R — кільце Нетер. Справді для довільної зростаючої послідовності ідеалів довільний елемент якогось із ідеалів належить лише скінченній множині максимальних ідеалів. Але тоді і кожен ідеал зростаючої послідовності є підмножиною цієї скінченної множини максимальних ідеалів. Тому існує деякий максимальний ідеал якому належить нескінченна кількість ідеалів послідовності. Оскільки при переході до локалізації по цьому максимальному ідеалу підпослідовність стабілізується то це ж є справедливим і для початкової підпослідовності, а тому всієї послідовності. Отже R — кільце Нетер. Зокрема і частковий випадок ${\displaystyle R=k[x_{1},...,x_{n},...]}$ є нетеровим кільцем, оскільки вказані умови виконуються.

Натомість у ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{i}}$ існує ланцюг простих ідеалів довжини ${\displaystyle i}$. Оскільки ${\displaystyle i}$ є необмеженим числом то ${\displaystyle R}$ має розмірність рівну нескінченності і є прикладом нескінченновимірного нетерового кільця.

• Натомість довільне напівлокальне нетерове кільце має скінченну розмірність.

• Розмірність Круля кільця R рівна супремуму висот всіх простих ідеалів R. Зокрема, область цілісності має розмірність Круля 1, коли кожен відмінний від нуля простий ідеал є максимальним ідеалом.

• Область цілісності є полем, якщо і тільки якщо його розмірність Круля рівна нулю.

• Розмірність Круля кільця є рівною розмірності будь-якого його цілого розширення.
• Для кільця R і простого ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in R}$ виконується нерівність ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}+\operatorname {coht} {\mathfrak {p}}\leqslant \dim R.}$

Нерівність може бути строгою навіть для нетерових кілець. Нехай, наприклад, ${\displaystyle A=k[[X,Y,Z]]}$ — кільце формальних степеневих рядів від трьох змінних над полем k, I — ідеал породжений XY і XZ і R = A/I. Тоді ${\displaystyle \dim R=2.}$ Якщо позначати ${\displaystyle {\bar {Y}},\ {\bar {Z}}}$ — образи ${\displaystyle Y,Z}$ у R, то висота ідеалу ${\displaystyle ({\bar {Y}},\ {\bar {Z}})}$ є рівною 0, а оскільки ${\displaystyle R/({\bar {Y}},\ {\bar {Z}})\simeq k[[X]]}$ то ${\displaystyle \operatorname {coht} ({\bar {Y}},\ {\bar {Z}})=\dim k[[X]]=1.}$ Тому ${\displaystyle \operatorname {ht} ({\bar {Y}},\ {\bar {Z}})+\operatorname {coht} ({\bar {Y}},\ {\bar {Z}})=1<\dim R.}$

Якщо R — комутативне кільце і M — R-модуль, розмірність Круля M визначається як розмірність Круля факторкільця по анулятору модуля:

${\displaystyle \operatorname {dim} _{R}M:=\operatorname {dim} (R/\operatorname {Ann} _{R}(M))}$

де Ann_R(M) — ядро відображення R → End_R(M) (що зіставляє елементу кільця множення на цей елемент).

Також можна дати означення за допомогою рівностей ${\displaystyle \operatorname {dim} _{R}M=\sup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Supp} M}\operatorname {coht} ({\mathfrak {p}})=\sup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} M}\operatorname {coht} ({\mathfrak {p}}),}$ де ${\displaystyle \operatorname {Supp} M}$ — носій модуля, а ${\displaystyle \operatorname {Ass} M}$— множина асоційованих простих ідеалів модуля.

• Висота (теорія кілець)

• R. Gordon, J. Ch. Robson, Krull dimension, American Mathematical Society, 1978, ISBN 0-8218-1833-3.
• J. C. McConnell, J. C. Robson, Lance W. Small, Noncommutative Noetherian Rings, American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2169-5.