Асоційований простий ідеал

Нехай ${\displaystyle R}$ — комутативне асоціативне кільце з одиницею, і ${\displaystyle M}$ — модуль над ${\displaystyle R}$.

Простий ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset R}$ називається асоційованим з ${\displaystyle M}$, якщо існує такий елемент ${\displaystyle x\in M}$, що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\textrm {Ann}}_{R}(\{x\})=\{r\in R|rx=0\}}$.

Еквівалентно, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ є асоційованим з ${\displaystyle M}$, якщо існує ін'єктивний R-гомоморфізм між модулями ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$ і ${\displaystyle M}$. Дійсно, якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\textrm {Ann}}_{R}(\{x\})}$, то ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$є як R-модуль є ізоморфним із ${\displaystyle Rx.}$Навпаки, якщо існує такий гомоморфізм f, то ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\textrm {Ann}}_{R}(\{f({\bar {1}})\}),}$ де ${\displaystyle {\bar {1}}}$ позначає одиничний елемент у ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}.}$

Множина простих ідеалів, асоційованих з модулем ${\displaystyle M}$ позначається ${\displaystyle {\textrm {Ass}}_{R}(M)}$.

Мінімальні елементи в ${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)}$ (щодо включення множин) у комутативному кільці R, називаються ізольованими простими ідеалами. Усі інші асоційовані прості ідеали називаються вкладеними простими ідеалами.

Модуль ${\displaystyle M}$ називається копримарним якщо з того що rm = 0 ( r є дільником нуля модуля ${\displaystyle M}$) для деякого ненульового ${\displaystyle m\in M}$ випливає що rⁿM = 0 для деякого натурального числа n.

Ненульовий скінченнопороджений модуль M над комутативним нетеровим кільцем є копримарним тоді і тільки тоді коли для нього існує один асоційований простий ідеал.

Дійсно, як показано нижче, у цьому випадку множина асоційованих простих ідеалів є непустою. Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\textrm {Ann}}_{R}(\{x\})}$ є простим ідеалом. Тоді для кожного дільника нуля r виконується rⁿM = 0 і тому rⁿx = 0. Тобто ${\displaystyle r^{n}\in {\mathfrak {p}}}$ і внаслідок простоти ідеалу, ${\displaystyle r\in {\mathfrak {p}}.}$ Тобто всі дільники нуля належать ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ і внаслідок властивості нижче про те, що множина дільників нуля є об'єднанням елементів асоційованих простих ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ є єдиним таким ідеалом.

Навпаки, якщо існує єдиний асоційований простий ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$то з тої ж властивості випливає, що його елементами є всі дільники нуля і тільки вони. З властивості нижче випливає також, що ${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {ann} (M)}}={\mathfrak {p}},}$що є еквівалентним твердженню.

Підмодуль N у M називається ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-примарним якщо ${\displaystyle M/N}$ є копримарним із асоційованим простим ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.

Ідеал I є ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-примарним ідеалом тоді і тільки тоді коли${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(R/I)=\{{\mathfrak {p}}\}}$.

Ненульовий R-модуль ${\displaystyle N}$ називається простим модулем якщо ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)=\mathrm {Ann} _{R}(N')\,}$ для довільного підмодуля ${\displaystyle N'}$ модуля ${\displaystyle N}$ . Для простого модуля ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)\,}$ є простим ідеалом в ${\displaystyle R}$.[1]

Ідеал кільця ${\displaystyle R}$ називається асоційованим простим ідеалом для R-модуля ${\displaystyle M}$, якщо він рівний ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)\,}$ для деякого простого підмодуля ${\displaystyle N}$ у модулі ${\displaystyle M}$ .

Всюди нижче кільце ${\displaystyle R}$ є комутативним і нетеровим:

• Розглянемо множину ідеалів ${\displaystyle I\subset R}$, для яких ${\displaystyle I={\textrm {Ann}}_{R}(\{x\})}$ для деякого ${\displaystyle x\in M}$ для модуля ${\displaystyle M}$ над ${\displaystyle R}$. Тоді максимальні елементи цієї множини є простими ідеалами. Оскільки для ненульового модуля ця множина не є пустою (довільний елемент має свій анулятор, що може бути і нульовим ідеалом) то звідти для кожного такого модуля існує асоційований простий ідеал.

Припустимо, що такий ідеал ${\displaystyle I={\textrm {Ann}}_{R}(\{x\})}$ є максимальним у цій множині але не простим. Тоді існують елементи ${\displaystyle a,b\in R}$, для яких ${\displaystyle ab\in I}$ але ${\displaystyle a,b\not \in I}$ . Оскільки ${\displaystyle b\not \in I,bx\neq 0}$. Але ${\displaystyle abx=0}$. Тому, ${\displaystyle a\in {\textrm {Ann}}_{R}(bx)}$ і ${\displaystyle a\not \in I}$ . Тобто ${\displaystyle {\textrm {Ann}}_{R}(bx)}$ є строго більшим від ${\displaystyle I}$, що суперечить максимальності останнього у заданій множині.

• Кожен ідеал J є рівний перетину скінченної кількості примарних ідеалів. Запис ідеала як перетину примарних ідеалів називається примарним розкладом ідеала. Множина радикалів цих ідеалів є рівною ${\displaystyle \mathrm {Ass} _{R}(R/J)\,}$. Зокрема, ідеал J є примарним ідеалом тоді і тільки тоді, коли множина ${\displaystyle \mathrm {Ass} _{R}(R/J)\,}$ складається з одного елемента.
• Довільний мінімальний простий ідеал для ідеала J є елементом множини ${\displaystyle \mathrm {Ass} _{R}(R/J)\,}$. Множина цих ідеалів є множиною ізольованих простих ідеалів.
• Множина ${\displaystyle \bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Ass} (M)}{\mathfrak {p}}}$ рівна множині елементів ${\displaystyle \{r\in R\;|\;\exists \ 0\neq m\in M:rm=0\}}$ (такі елементи називають дільниками нуля ${\displaystyle M}$).

З означення очевидно, що кожен елемент довільного асоційованого простого ідеала, а тому і їх об'єднання є дільником нуля ${\displaystyle M}$. Навпаки, якщо ${\displaystyle r\in R,\;m\in M}$ елементи для яких ${\displaystyle rm=0}$ то ${\displaystyle (r)\subset {\textrm {Ann}}(m)}$. Але ${\displaystyle {\textrm {Ann}}(m)}$ є підмножиною деякого максимального анулятора елемента модуля і цей ідеал є простим. Тобто ${\displaystyle r}$ належить деякому асоційованому простому ідеалу.

• Нехай S мультиплікативна система кільця ${\displaystyle R}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R),\;{\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset }$. Ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ є асоційованим для модуля M над R, тоді і тільки тоді коли простий ідеал ${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {p}}}$ у локалізації кільця ${\displaystyle S^{-1}R}$ є асоційованим для модуля ${\displaystyle S^{-1}M}$.

  Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\textrm {Ass}}_{R}(M)}$ то ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\textrm {Ann}}_{R}(x)}$ для деякого ${\displaystyle x\in M}$. Тоді ${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {p}}={\textrm {Ann}}_{S^{-1}R}(x/1)}$.

  Навпаки припустимо ${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {p}}={\textrm {Ann}}_{S^{-1}R}(x/s)}$ для деяких ${\displaystyle x\in M,s\in S}$. Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\textrm {Ann}}_{R}(x)}$. Тоді ${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {a}}=S^{-1}{\mathfrak {p}}}$, звідки випливає, що ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}}$ і оскільки кільце є нетеровим, а тому всі ідеали скінченнопородженими, то існує також ${\displaystyle s'\in S,}$ такий що ${\displaystyle s'{\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {a}}}$. Тоді ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\textrm {Ann}}_{R}(s'x)}$.

• Якщо ${\displaystyle M}$ є скінченнопородженим модулем над ${\displaystyle R}$, тоді існує скінченна послідовність підмодулів

${\displaystyle 0=M_{0}\subset M_{1}\subset \cdots \subset M_{n-1}\subset M_{n}=M\,}$

для якої усі фактор-модулі ${\displaystyle M_{i+1}/M_{i}}$ є ізоморфними фактор-кільцям ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{i}}$ для деяких простих ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$. До того ж для цих ідеалів справедливими є включення:

${\displaystyle \mathrm {Ass} (M)\subset \{{\mathfrak {p}}_{0},\dotsc ,{\mathfrak {p}}_{n-1}\}\subset \mathrm {Supp} (M)}$

де за означенням носій модуля ${\displaystyle \mathrm {Supp} (M)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R)|M_{\mathfrak {p}}\neq 0\}}$. Окрім того мінімальні елементи в усіх трьох множинах є однаковими.

Оскільки для ненульового модуля існує асоційований простий ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}}$ то у цьому випадку існує підмодуль ${\displaystyle M_{1}\subset M}$ ізоморфний ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{0}}$. Далі якщо модуль ${\displaystyle M/M_{1}}$ не є нульовим то для нього можна використати ті самі аргументи і отримати модуль ${\displaystyle M_{1}\subset M_{2}\subset M}$, такий що ${\displaystyle M_{2}/M_{1}}$ є ізоморфним ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{1}}$ для якогось простого ідеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}}$ (що буде простим асоційованим для модуля ${\displaystyle M/M_{1}}$). Продовжуючи по індукції отримуємо зростаючу послідовність модулів, що задовольняють умови теореми. Оскільки модуль є нетеровим то цей процес завершиться за скінченну кількість кроків. Це можливо лише коли останній підмодуль у послідовності рівний ${\displaystyle M}$.

Нехай тепер ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R)}$. Тоді ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}\neq 0}$ тоді і тільки тоді коли для якогось ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ локалізація ${\displaystyle (R/{\mathfrak {p}}_{i})_{\mathfrak {p}}\neq 0}$, тобто якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ містить один із ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$. Звідси усі ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\in \mathrm {Supp} (M)}$ і мінімальні елементи обох множин є однаковими.

Нехай тепер ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \mathrm {Ass} (M)}$. Тоді модуль ${\displaystyle M}$ містить підмодуль ${\displaystyle N}$ ізоморфний до ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$. Нехай i — найменший індекс для якого ${\displaystyle M_{i+1}\cap N\neq \emptyset }$ . Тоді${\displaystyle (M_{i+1}\cap N)/M_{i}}$ можна розглядати як ненульовий підмодуль модулів ${\displaystyle M_{i+1}/M_{i}\cong R/{\mathfrak {p}}_{i}}$ і ${\displaystyle N\cong R/{\mathfrak {p}}}$. Але із попередніх властивостей у цьому випадку ${\displaystyle {\textrm {Ass}}_{R}((M_{i+1}\cap N)/M_{i})=\{{\mathfrak {p}}_{i}\}}$ і водночас ${\displaystyle {\textrm {Ass}}_{R}((M_{i+1}\cap N)/M_{i})=\{{\mathfrak {p}}\}.}$ Тому ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{i}}$ звідки ${\displaystyle \mathrm {Ass} (M)\subset \{{\mathfrak {p}}_{0},\dotsc ,{\mathfrak {p}}_{n-1}\}}$.

Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ є мінімальним елементом ${\displaystyle \mathrm {Supp} (M)}$, то ${\displaystyle \mathrm {Supp} (M_{\mathfrak {p}})}$ відповідної локалізації містить єдиний елемент ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$. Оскільки ${\displaystyle \mathrm {Ass} (M_{\mathfrak {p}})}$ є непустою і міститься в ${\displaystyle \mathrm {Supp} (M_{\mathfrak {p}})}$ то ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Ass} (M_{\mathfrak {p}})}$ і з властивостей для асоційованих простих ідеалів для локалізації ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \mathrm {Ass} (M)}$.

• Модуль ${\displaystyle M}$ над ${\displaystyle R}$ має скінченну довжину тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle M}$ є скінченнопородженим і елементами ${\displaystyle \mathrm {Ass} (M)}$ є лише максимальні ідеали.[2]
• Якщо ${\displaystyle U}$ є підмодулем ${\displaystyle M}$ то ${\displaystyle \mathrm {Ass} (U)\subset \mathrm {Ass} (M)\subset \mathrm {Ass} (U)\cup \mathrm {Ass} (M/U)}$.
• Для скінченнопородженого модуля ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {ann} (M)}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Ass} (M)}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Supp} (M)}{\mathfrak {p}}}$

Якщо ${\displaystyle r\in \operatorname {ann} (M),}$ то очевидно ${\displaystyle r\in {\mathfrak {p}},}$ для кожного ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \mathrm {Ass} (M).}$ Отже звідси для кожного такого ідеалу ${\displaystyle \operatorname {ann} (M)\subset {\mathfrak {p}}}$ і зважаючи на простоту також ${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {ann} (M)}}\subset {\mathfrak {p}}.}$

В іншу сторону, із попередніх властивостей існує скінченна послідовність підмодулів ${\displaystyle 0=M_{0}\subset M_{1}\subset \cdots \subset M_{n-1}\subset M_{n}=M\,}$ для якої усі фактор-модулі ${\displaystyle M_{i+1}/M_{i}}$ є ізоморфними ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{i}.}$ До того ж множина мінімальних елементів у ${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}_{i}\}}$ є рівною множині мінімальних елементів ${\displaystyle \mathrm {Ass} (M).}$ Тож якщо ${\displaystyle r\in \bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Ass} (M)}{\mathfrak {p}}}$ то також ${\displaystyle r\in {\mathfrak {p}}_{i}}$ для всіх i і тому ${\displaystyle rM_{i}\subset M_{i-1}.}$ Зокрема ${\displaystyle r^{n}M=0.}$

Два попередні абзаци разом доводять, що ${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {ann} (M)}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Ass} (M)}{\mathfrak {p}}.}$ Твердження для носія модуля випливає з того, що множина мінімальних елементів носія є рівною множині ізольованих простих іідеалів.