Формула Аусландера — Бухсбаума

Нехай R — локальне кільце і M — скінченнопороджений R-модуль. Якщо максимальний ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Ass} (R)}$ (еквівалентно всі елементи максимального ідеалу є дільниками нуля), то ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=0}$ або ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=\infty .}$

Припустимо ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=n>0.}$ Якщо ${\displaystyle n<\infty }$ то можна знайти R-модуль M для якого ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=1.}$ Для цього потрібно побудувати частину проективної резольвенти

${\displaystyle E_{n-2}\rightarrow \cdots \rightarrow E_{2}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\rightarrow 0}$

після чого побудувати вільний модуль F породжений елементами модуля ${\displaystyle E_{n-2}.}$ Ядро природного відображення ${\displaystyle F\to E_{n-2}}$ буде мати проективну розмірність 1 згідно властивостей проективних розмірностей.

Тому можна вважати, що ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=1.}$ Нехай ${\displaystyle x_{1},...,x_{t}}$ — мінімальна породжуюча множина для M. Тоді M є факторкільцем вільного модуля F з базисом ${\displaystyle x_{1},...,x_{t}}$ і ядром K. Таким чином одержана коротка точна послідовність${\displaystyle :0\to K\to F\to M\to 0,}$

Також ${\displaystyle K\subset {\mathfrak {m}}F.}$ Справді довільний елемент K можна записати як ${\displaystyle \sum _{i=1}^{t}a_{i}x_{i},}$ де ${\displaystyle a_{i}\in R.}$ При відображенні в M ця сума є рівною 0. Якщо якийсь з елементів ${\displaystyle a_{i}}$ не належить ${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$ то він є оборотним і у модулі M елемент ${\displaystyle x_{i}}$ є R-лінійною комбінацією інших породжуючих елементів, що суперечить мінімальності породжуючої множини. Тож ${\displaystyle K\subset {\mathfrak {m}}F.}$

Оскільки ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=1,}$ то K є проективним модулем, а як скінченнопороджений модуль над локальним кільцем то також і вільним R-модулем. Оскільки ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Ass} (R),}$ то ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ є анулятором деякого елемента ${\displaystyle 0\neq a\in R.}$ Оскільки ${\displaystyle K\subset {\mathfrak {m}}F,}$ то ${\displaystyle aK=0,}$ а оскільки ${\displaystyle 0\neq a}$ це суперечить тому, що K є вільним R-модулем.

Нехай R локальне кільце, ${\displaystyle a\in R}$ — необоротний елемент, що не є дільником нуля у R. Позначимо ${\displaystyle R^{*}=R/(a).}$ Нехай M — скінченнопороджений R-модуль скінченної проективної розмірності для якого a не є дільником нуля. Тоді ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=\operatorname {pd} _{R^{*}}M/aM.}$

Доведення індукцією по ${\displaystyle n=\operatorname {pd} _{R}M.}$ Якщо n = 0, M є вільним модулем (як скінченнопороджений проективний модуль над локальним кільцем), тобто є прямою сумою копій R. Тоді M/aM є прямою сумою копій ${\displaystyle R^{*},}$ тобто є вільним ${\displaystyle R^{*}}$-модулем.

Припустимо n > 0 і розглянемо точну послідовність ${\displaystyle 0\to K\to F\to M\to 0}$ де F — вільний модуль. Оскільки a не є дільником нуля у M, звідси одержується точна послідовність ${\displaystyle R^{*}}$-модулів

${\displaystyle 0\to K/aK\to F/aF\to M/aM\to 0.\quad (*)}$

Якщо M/aM є вільним ${\displaystyle R^{*}}$-модулем, то M є вільним R-модулем. Справді, нехай ${\displaystyle y_{1}...,y_{n}}$ є базою M/aM як ${\displaystyle R^{*}}$-модуля. Нехай ${\displaystyle x_{1},...x_{n}}$ є прообразами цих елементів щодо відображення ${\displaystyle M\to M/aM.}$ Згідно леми Накаями, ${\displaystyle x_{1},...x_{n}}$ є породжуючою множиною M.

Для доведення того, що ${\displaystyle x_{1},...x_{n}}$ є лінійно незалежними над R, розглянемо лінійне рівняння ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}=0,\ \lambda _{i}\in R.}$ Тоді також ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\bar {\lambda }}_{i}y_{i}=0,\ }$ у M/aM і тому ${\displaystyle {\bar {\lambda }}_{i}=0\ (1\leqslant i\leqslant n).}$ Тому можна записати ${\displaystyle \lambda _{i}=\mu _{i}a\ (1\leqslant i\leqslant n)}$ і${\displaystyle \sum \mu _{i}ax_{i}=0}$ і з того, що a не є дільником нуля у M, також ${\displaystyle \sum \mu _{i}ax_{i}=0.}$ За тими ж аргументами, що й вище, a ділить кожен ${\displaystyle \mu _{i}}$ тож якщо взяти ${\displaystyle \mu _{i}=\nu _{i}a,}$ то ${\displaystyle \sum \nu _{i}x_{i}=0.}$ Таким чином для кожного i одержується послідовність ідеалів кільця R, ${\displaystyle (\lambda _{i})\subset (\mu _{i})\subset (\nu _{i})\subset \ldots .}$ Оскільки R є нетеровим кільцем, ця послідовність зрештою стабілізується для кожного i.

Тому можна вважати, що ${\displaystyle (\lambda _{i})=(\mu _{i})}$ для кожного i. Тоді ${\displaystyle \mu _{i}=\sigma _{i}\lambda _{i},\ \sigma _{i}\in R}$ і оскільки ${\displaystyle \lambda _{i}=\mu _{i}a,}$ то ${\displaystyle \mu _{i}(1-\sigma _{i}a)=0.}$ Оскільки ${\displaystyle a\in {\mathfrak {m}},}$ то ${\displaystyle (1-\sigma _{i}a)}$ є оборотним елементом і всі ${\displaystyle \mu _{i}=0}$ і тому всі ${\displaystyle \lambda _{i}=0,}$ тобто ${\displaystyle x_{1},...x_{n}}$ є лінійно незалежними над R.

Також ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=n-1<\infty }$ і за припущенням індукції ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R^{*}}K/aK=n-1.}$ Із цього і точної послідовності (*) випливає ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R^{*}}M/aM=n=\operatorname {pd} _{R}M.}$

Доведення теореми здійснюється індукцією по ${\displaystyle \mathrm {depth} (M).}$ Припустимо ${\displaystyle \mathrm {depth} \ M=0.}$ У цьому випадку результат доводиться індукцією по ${\displaystyle \mathrm {depth} \ R.}$ Якщо ${\displaystyle \mathrm {depth} \ R=0}$ то всі елементи максимального ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ є дільниками нуля і тому ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Ass} (R)}$ і, згідно леми 1, ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=0}$ і формула є вірною.

Припустимо ${\displaystyle \mathrm {depth} R>0.}$ Також можна вважати ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M>0}$, оскільки якщо ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=0,}$ то M є вільним модулем (як скінченнопороджений проективний модуль над локальним кільцем) і тоді ${\displaystyle \mathrm {depth} M=\mathrm {depth} R}$ і формула є вірною.

З того, що ${\displaystyle \mathrm {depth} (M)=0,}$ випливає, що ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Ass} (M)}$ і тому існує елемент ${\displaystyle y\in M,\ y\neq 0}$ для якого ${\displaystyle {\mathfrak {m}}y=0.}$ Візьмемо точну послідовність R-модулів

${\displaystyle 0\to K\to F{\overset {\phi }{\longrightarrow }}M\to 0,}$

де F — вільний модуль і елемент ${\displaystyle x\in F}$ для якого ${\displaystyle \phi (x)=y.}$ Тоді ${\displaystyle x\not \in K}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {m}}x\subset K.}$ Оскільки ${\displaystyle \mathrm {depth} R>0,}$ можна вибрати ${\displaystyle a\in {\mathfrak {m}},}$ що не є дільником нуля у R. Модуль F є вільним, тож a також не є дільником нуля у F і K. Якщо позначити ${\displaystyle R^{*}==R/(a)}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{*}={\mathfrak {m}}/(a),}$ то ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{*}\in \operatorname {Ass} (K/aK)}$ бо ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{*}}$ є анулятором ненульового елемента ${\displaystyle ax+aK\in K/aK.}$ Звідси ${\displaystyle \mathrm {depth} _{R^{*}}(K/aK)=0.}$ Оскільки ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1<\infty ,}$ з леми 2, випливає, що ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R^{*}}(K/aK)=\operatorname {pd} _{R}K<\infty .}$

З того, що ${\displaystyle \mathrm {depth} \ R^{*}=\mathrm {depth} \ R-1}$ формула одержується індукцією по ${\displaystyle R^{*}.}$ Модуль K/aK є скінченнопородженим ненульовим модулем над ${\displaystyle R^{*}}$ нульової глибини, то ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R^{*}}(K/aK)=\mathrm {depth} \ R^{*}.}$ Але ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R^{*}}(K/aK)=\operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1.}$ Тому ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=\mathrm {depth} \ R,}$ що завершує доведення у випадку ${\displaystyle \mathrm {depth} \ M=0.}$

Припустимо тепер, що ${\displaystyle \mathrm {depth} \ (M)>0.}$ Можна також вважати, що ${\displaystyle \mathrm {depth} \ R>0}$ оскільки в іншому випадку ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Ass} (R)}$ і згідно леми 1 ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=0,}$ тобто M є вільним модулем і ${\displaystyle \mathrm {depth} \ M=\mathrm {depth} \ R.}$ Оскільки ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ не є асоційованим простим ідеалом ні для M ні для R то він не є підмножиною жодного з цих простих ідеалів і відповідно не є підмножиною їх об'єднання. Тому існує елемент ${\displaystyle a\in {\mathfrak {m}},}$ який не є дільником нуля ні для R ні для M. Тоді ${\displaystyle \mathrm {depth} _{R/(a)}M/aM=\mathrm {depth} \ M-1}$ і за індукцією ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M/aM+\mathrm {depth} _{R/(a)}M/aM=\mathrm {depth} \ R/(a).}$ Згідно леми 2, ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R/(a)}M/aM=\operatorname {pd} _{R}M}$ і тому ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M+\mathrm {depth} _{R}M=1+\mathrm {depth} \ R/(a)=\mathrm {depth} R.}$