Формула Аусландера — Бухсбаума

В комутативній алгебрі Формула Аусландера — Бухсбаума пов'язує поняття глибини і проективної розмірності скінченнопороджених модулів над локальними нетеровими кільцями. Формула доведена американськими математиками Морісом Аусландером і Девідом Бухсбаумом у 1957 році.

Твердження

Нехай Rкомутативне локальне нетерове кільце і M — ненульовий скінченнопороджений R-модуль із скінченною проективною розмірністю. Тоді

де pd позначає проективну розмірність модуля і depth — глибину кільця і модуля.

Доведення

Лема 1

Нехай R — локальне кільце і M — скінченнопороджений R-модуль. Якщо максимальний ідеал (еквівалентно всі елементи максимального ідеалу є дільниками нуля), то або

Доведення

Припустимо Якщо то можна знайти R-модуль M для якого Для цього потрібно побудувати частину проективної резольвенти

після чого побудувати вільний модуль F породжений елементами модуля Ядро природного відображення буде мати проективну розмірність 1 згідно властивостей проективних розмірностей.

Тому можна вважати, що Нехай — мінімальна породжуюча множина для M. Тоді M є факторкільцем вільного модуля F з базисом і ядром K. Таким чином одержана коротка точна послідовність

Також Справді довільний елемент K можна записати як де При відображенні в M ця сума є рівною 0. Якщо якийсь з елементів не належить то він є оборотним і у модулі M елемент є R-лінійною комбінацією інших породжуючих елементів, що суперечить мінімальності породжуючої множини. Тож

Оскільки то K є проективним модулем, а як скінченнопороджений модуль над локальним кільцем то також і вільним R-модулем. Оскільки то є анулятором деякого елемента Оскільки то а оскільки це суперечить тому, що K є вільним R-модулем.

Лема 2

Нехай R локальне кільце, необоротний елемент, що не є дільником нуля у R. Позначимо Нехай M — скінченнопороджений R-модуль скінченної проективної розмірності для якого a не є дільником нуля. Тоді

Доведення

Доведення індукцією по Якщо n = 0, M є вільним модулем (як скінченнопороджений проективний модуль над локальним кільцем), тобто є прямою сумою копій R. Тоді M/aM є прямою сумою копій тобто є вільним -модулем.

Припустимо n > 0 і розглянемо точну послідовність де F — вільний модуль. Оскільки a не є дільником нуля у M, звідси одержується точна послідовність -модулів

Якщо M/aM є вільним -модулем, то M є вільним R-модулем. Справді, нехай є базою M/aM як -модуля. Нехай є прообразами цих елементів щодо відображення Згідно леми Накаями, є породжуючою множиною M.

Для доведення того, що є лінійно незалежними над R, розглянемо лінійне рівняння Тоді також у M/aM і тому Тому можна записати і і з того, що a не є дільником нуля у M, також За тими ж аргументами, що й вище, a ділить кожен тож якщо взяти то Таким чином для кожного i одержується послідовність ідеалів кільця R, Оскільки R є нетеровим кільцем, ця послідовність зрештою стабілізується для кожного i.

Тому можна вважати, що для кожного i. Тоді і оскільки то Оскільки то є оборотним елементом і всі і тому всі тобто є лінійно незалежними над R.

Також і за припущенням індукції Із цього і точної послідовності (*) випливає

Доведення формули Аусландера — Бухсбаума

Доведення теореми здійснюється індукцією по Припустимо У цьому випадку результат доводиться індукцією по Якщо то всі елементи максимального ідеалу є дільниками нуля і тому і, згідно леми 1, і формула є вірною.

Припустимо Також можна вважати , оскільки якщо то M є вільним модулем (як скінченнопороджений проективний модуль над локальним кільцем) і тоді і формула є вірною.

З того, що випливає, що і тому існує елемент для якого Візьмемо точну послідовність R-модулів

де Fвільний модуль і елемент для якого Тоді і Оскільки можна вибрати що не є дільником нуля у R. Модуль F є вільним, тож a також не є дільником нуля у F і K. Якщо позначити і то бо є анулятором ненульового елемента Звідси Оскільки з леми 2, випливає, що

З того, що формула одержується індукцією по Модуль K/aK є скінченнопородженим ненульовим модулем над нульової глибини, то Але Тому що завершує доведення у випадку

Припустимо тепер, що Можна також вважати, що оскільки в іншому випадку і згідно леми 1 тобто M є вільним модулем і Оскільки не є асоційованим простим ідеалом ні для M ні для R то він не є підмножиною жодного з цих простих ідеалів і відповідно не є підмножиною їх об'єднання. Тому існує елемент який не є дільником нуля ні для R ні для M. Тоді і за індукцією Згідно леми 2, і тому

Застосування

З формули Аусландера — Бухсбаума випливає що локальне Нетерове кільце є регулярним якщо і тільки якщо воно має скінченну глобальну розмірність. Звідси випливає, що локалізація регулярного локального кільця теж є регулярним локальним кільцем.

Якщо A є локальною скінченнопородженою R-алгеброю над регулярним локальним кільцем R, тоді з формули Аусландера — Бухсбаума випливає що A є кільцем Коена — Маколея якщо і тільки якщо, pdRA = codimRA.

Див. також

Література

  • Auslander, Maurice; Buchsbaum, David A. (1957). Homological dimension in local rings. Transactions of American Mathematical Society 85: 390–405. ISSN 0002-9947. JSTOR 1992937. MR 0086822. doi:10.2307/1992937.
  • Srikanth Iyengar, Graham J. Leuschke, Anton Leykin, Claudia Miller, Ezra Miller (2007). Twenty-four hours of local cohomology. Graduate Studies in Mathematics 87. American Mathematical Society. ISBN 9780821841266.
  • Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.
  • Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. ISBN 0-521-25916-9
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.