Кільце Коена — Маколея

У комутативній алгебрі кільцями Коена — Маколея називається клас комутативних кілець, що є зокрема важливим у алгебричній геометрії, завдяки властивостям локальної рівнорозмірності. Названі на честь англійського математика Френсіса Маколея і американського математика Ірвінга Коена.

Означення

Комутативне локальне нетерове кільце називається кільцем Коена — Маколея, якщо його глибина дорівнює його розмірності .

Еквівалентне означення можна дати в термінах регулярної послідовності, тобто послідовності елементів де для всіх елемент не є дільником нуля у кільці . Локальне кільце називається кільцем Коена — Маколея, якщо існує регулярна послідовність для якої фактор-кільце є кільцем Артіна. Довжина цієї регулярної послідовності є рівною глибині кільця і його розмірності Круля.

Також кільця Коена — Маколея можна охарактеризувати тим, що групи і групи локальних когомологій рівні нулю для всіх , де максимальний ідеал, a — поле лишків .

Нетерове кільце називається кільцем Коена — Маколея, якщо для будь-якого простого ідеалу локалізація кільця є кільцем Коена — Маколея. Аналогічно довільна схема називається схемою Коена — Маколея якщо для будь-якої точки локальне кільце у цій точці є кільцем Коена — Маколея.

Приклади

Властивості

  • Якщо простий ідеал в локальному кільці Коена — Маколея , то для його висоти виконується співвідношення
Зокрема, локальне кільце Коена — Маколея є рівнорозмірним і ланцюговим.
  • Одним із найважливіших результатів теорії кілець Коена — Маколея є теорема про незмішаність. Ця теорема була доведена Маколеєм для кільця многочленів і Коеном для кільця формальних степеневих рядів, що дало назву усьому класу кілець. Нехай d-вимірне кільце Коена — Маколея, — послідовність елементів з для яких . Тоді ця послідовність є регулярною, і ідеал є незмішаним, тобто будь-який простий ідеал, асоційований з має висоту і ковисоту .
  • Локальне кільце є кільцем Коена — Маколея тоді і тільки тоді коли кільцем Коена — Маколея є його поповнення;
  • Якщо є локальним кільцем Коена — Маколея, то і кільце , де — регулярна послідовність, є кільцем Коена — Маколея;
  • Локалізація локального кільця Коена — Маколея (в першому означенні) по простому ідеалу знову є кільцем Коена — Маколея. Ця властивість зокрема робить несуперечливим означення для довільних нетерових кілець.
  • Кільце Коена — Маколея стабільні і при переході до кілець інваріантів. Якщо скінченна група, що діє на кільці Коена — Маколея і її порядок є оборотним у , то кільце інваріантів є кільцем Коена — Маколея.
  • Критерій Хіронаки. Нехай — локальне кільце, що є скінченнопородженим модулем над деяким регулярним локальним кільцем . Такі підкільця завжди існують, наприклад, для локалізації скінченнопородженої алгебри над полем по простому ідеалу (згідно нормалізаційної леми Нетер); вони також існують коли є повним кільцем, що містить поле або повною областю цілісності.[1] При цих умовах є кільцем Коена — Маколея тоді і тільки тоді коли воно є плоским A-модулем; еквівалентно, якщо є вільним A-модулем.[2]
  • Нехай — елемент нетерового локального кільця , що не є дільником нуля і належить максимальному ідеалу. Тоді є кільцем Коена — Маколея тоді і тільки тоді коли є кільцем Коена — Маколея.[3]

Модулі Коена — Маколея

Скінченнопороджений модуль над локальним нетеровим кільцем називається модулем Коена — Маколея, якщо його глибина дорівнює розмірності.

На модулі Коена — Маколея поширюються багато результатів про кільце Коена — Маколея. Наприклад, носій такого модуля є рівнорозмірним.

Для будь-якого асоційованого ідеалу виконується рівність Звідси випливає також, що кожен елемент є мінімальним і також елементом носія модуля.

У модулів Коена — Маколея кожна система параметрів є регулярною послідовністю. Системою параметрів називається послідовність елементів , які належать максимальному ідеалу кільця , де і модуль має скінченну довжину. Навпаки, якщо для кожна система параметрів є регулярною, то є модулем Коена — Маколея.

Якщо є R-модулем Коена — Маколея і — простий ідеал у , то локалізація є - модулем Коена — Маколея.

Існує гіпотеза, що для будь-якого повного локального кільця існує модуль Коена — Маколея такий, що .

Примітки

  1. Bruns & Herzog, Theorem A.22.
  2. Eisenbud (1995), Corollary 18.17.
  3. Matsumura (1989), Theorem 17.3.(ii).

Див. також

Література

  • Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993). Cohen–Macaulay Rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 39. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-41068-7. MR 1251956.
  • Cohen, I. S. (1946). On the structure and ideal theory of complete local rings. Transactions of the American Mathematical Society 59: 54–106. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990313. MR 0016094. doi:10.2307/1990313.
  • V.I. Danilov (2001). Cohen–Macaulay ring. У Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
  • Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics 150. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94268-1. MR 1322960.
  • Fulton, William (1993). Introduction to Toric Varieties. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00049-7. MR 1234037.
  • Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998). Birational Geometry of Algebraic Varieties. Cambridge University Press. ISBN 0-521-63277-3. MR 1658959.
  • Kollár, János (2013). Singularities of the Minimal Model Program. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-03534-8. MR 3057950.
  • Macaulay, F.S. (1994) [1916]. The Algebraic Theory of Modular Systems. Cambridge University Press. ISBN 1-4297-0441-1. MR 1281612.
  • Matsumura, Hideyuki (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (вид. 2nd). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 0879273.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.