Кільце Коена — Маколея

Комутативне локальне нетерове кільце ${\displaystyle R}$ називається кільцем Коена — Маколея, якщо його глибина дорівнює його розмірності ${\displaystyle \dim R}$.

Еквівалентне означення можна дати в термінах регулярної послідовності, тобто послідовності елементів ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}\in R}$ де для всіх ${\displaystyle i}$ елемент ${\displaystyle a_{i}}$ не є дільником нуля у кільці ${\displaystyle R/(a_{1},\ldots ,a_{i})}$. Локальне кільце ${\displaystyle R}$ називається кільцем Коена — Маколея, якщо існує регулярна послідовність для якої фактор-кільце є кільцем Артіна. Довжина цієї регулярної послідовності є рівною глибині кільця і його розмірності Круля.

Також кільця Коена — Маколея можна охарактеризувати тим, що групи ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)\neq 0}$ і групи локальних когомологій ${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{i}(R)}$ рівні нулю для всіх ${\displaystyle i<\dim R}$, де ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ — максимальний ідеал, a ${\displaystyle k}$ — поле лишків ${\displaystyle R}$.

Нетерове кільце ${\displaystyle R}$ називається кільцем Коена — Маколея, якщо для будь-якого простого ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset R}$ локалізація кільця ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ є кільцем Коена — Маколея. Аналогічно довільна схема ${\displaystyle X}$ називається схемою Коена — Маколея якщо для будь-якої точки локальне кільце у цій точці є кільцем Коена — Маколея.

• Регулярне локальне кільце (і, взагалі, будь-яке кільце Горенштейна) є кільцем Коена — Маколея;
• будь-яке артинове кільце;
• будь-яке одновимірне редуковане кільце;
• будь-яке двовимірне нормальне кільце є кільцем Коена — Маколея.
• Кільце многочленів або формальних степеневих рядів над полем чи над будь-яким кільцем Коена — Маколея.

• Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — простий ідеал в локальному кільці Коена — Маколея ${\displaystyle R}$, то для його висоти виконується співвідношення

${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})+\operatorname {dim} (R/{\mathfrak {p}})=\operatorname {dim} R.}$

Зокрема, локальне кільце Коена — Маколея є рівнорозмірним і ланцюговим.

• Одним із найважливіших результатів теорії кілець Коена — Маколея є теорема про незмішаність. Ця теорема була доведена Маколеєм для кільця многочленів і Коеном для кільця формальних степеневих рядів, що дало назву усьому класу кілець. Нехай ${\displaystyle R}$ — d-вимірне кільце Коена — Маколея, ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}\in R}$ — послідовність елементів з ${\displaystyle R}$ для яких ${\displaystyle \operatorname {dim} R/(a_{1},\ldots ,a_{k})=d-k}$. Тоді ця послідовність є регулярною, і ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {u}}=(a_{1},\ldots ,a_{k})}$ є незмішаним, тобто будь-який простий ідеал, асоційований з ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$ має висоту ${\displaystyle k}$ і ковисоту ${\displaystyle d-k}$.

• Локальне кільце є кільцем Коена — Маколея тоді і тільки тоді коли кільцем Коена — Маколея є його поповнення;
• Якщо ${\displaystyle R}$ є локальним кільцем Коена — Маколея, то і кільце ${\displaystyle R/(a_{1},\ldots ,a_{k})}$, де ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$ — регулярна послідовність, є кільцем Коена — Маколея;
• Локалізація локального кільця Коена — Маколея (в першому означенні) по простому ідеалу знову є кільцем Коена — Маколея. Ця властивість зокрема робить несуперечливим означення для довільних нетерових кілець.
• Кільце Коена — Маколея стабільні і при переході до кілець інваріантів. Якщо ${\displaystyle G}$ — скінченна група, що діє на кільці Коена — Маколея ${\displaystyle R}$ і її порядок є оборотним у ${\displaystyle R}$, то кільце інваріантів ${\displaystyle R^{G}}$ є кільцем Коена — Маколея.
• Критерій Хіронаки. Нехай ${\displaystyle R}$ — локальне кільце, що є скінченнопородженим модулем над деяким регулярним локальним кільцем ${\displaystyle A\subset R}$. Такі підкільця завжди існують, наприклад, для локалізації скінченнопородженої алгебри над полем по простому ідеалу (згідно нормалізаційної леми Нетер); вони також існують коли ${\displaystyle R}$ є повним кільцем, що містить поле або повною областю цілісності.[1] При цих умовах ${\displaystyle R}$ є кільцем Коена — Маколея тоді і тільки тоді коли воно є плоским A-модулем; еквівалентно, якщо ${\displaystyle R}$ є вільним A-модулем.[2]
• Нехай ${\displaystyle u}$ — елемент нетерового локального кільця ${\displaystyle R}$, що не є дільником нуля і належить максимальному ідеалу. Тоді ${\displaystyle R}$ є кільцем Коена — Маколея тоді і тільки тоді коли${\displaystyle R/(u)}$ є кільцем Коена — Маколея.[3]

Скінченнопороджений модуль ${\displaystyle M}$ над локальним нетеровим кільцем ${\displaystyle R}$називається модулем Коена — Маколея, якщо його глибина дорівнює розмірності.

На модулі Коена — Маколея поширюються багато результатів про кільце Коена — Маколея. Наприклад, носій такого модуля є рівнорозмірним.

Для будь-якого асоційованого ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} M}$виконується рівність ${\displaystyle \operatorname {depth} M=\operatorname {dim} M=\operatorname {dim} R/{\mathfrak {p}}.}$ Звідси випливає також, що кожен елемент ${\displaystyle \operatorname {Ass} M}$ є мінімальним і також елементом носія модуля.

У модулів Коена — Маколея кожна система параметрів є регулярною послідовністю. Системою параметрів називається послідовність елементів ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$, які належать максимальному ідеалу кільця ${\displaystyle R}$, де ${\displaystyle n=\operatorname {dim} R}$і модуль ${\displaystyle M/(a_{1},\ldots ,a_{n})M}$ має скінченну довжину. Навпаки, якщо для ${\displaystyle M}$ кожна система параметрів є регулярною, то ${\displaystyle M}$ є модулем Коена — Маколея.

Якщо ${\displaystyle M}$ є R-модулем Коена — Маколея і ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — простий ідеал у ${\displaystyle R}$, то локалізація ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$ є ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$- модулем Коена — Маколея.

Існує гіпотеза, що для будь-якого повного локального кільця існує модуль Коена — Маколея ${\displaystyle M}$ такий, що ${\displaystyle \dim M=\dim A}$.

• Глибина (теорія кілець)
• Кільце Горенштейна
• Розмірність Круля

• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993). Cohen–Macaulay Rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 39. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-41068-7. MR 1251956.
• Cohen, I. S. (1946). On the structure and ideal theory of complete local rings. Transactions of the American Mathematical Society 59: 54–106. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990313. MR 0016094. doi:10.2307/1990313.
• V.I. Danilov (2001). Cohen–Macaulay ring. У Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics 150. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94268-1. MR 1322960.
• Fulton, William (1993). Introduction to Toric Varieties. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00049-7. MR 1234037.
• Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998). Birational Geometry of Algebraic Varieties. Cambridge University Press. ISBN 0-521-63277-3. MR 1658959.
• Kollár, János (2013). Singularities of the Minimal Model Program. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-03534-8. MR 3057950.
• Macaulay, F.S. (1994) [1916]. The Algebraic Theory of Modular Systems. Cambridge University Press. ISBN 1-4297-0441-1. MR 1281612.
• Matsumura, Hideyuki (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (вид. 2nd). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 0879273.