Граф Гофмана — Синглтона

У математичній теорії графів, граф Гофмана — Синглтона 7це -регулярнимйнеорієнтованимйграфозі 50 вершинами і 175 ребрами. Це єдиний сильно регулярний граф із параметрами (50,7,0,1)[4]. Його побудували Алан Гофман і Роберт Синглтон, коли намагалися класифікувати всі графи Мура, він є графом Мура з найвищим порядком, для якого відомо, що граф існує[5]. Оскільки це граф Мура, в якому кожна вершина має степінь 7, а обхват 5, тоді він є (7,5)-кліткою.

Граф Гофмана — Синглтона
Названий на честь Алан Гофман
Роберт Синглтон
Вершин 50
Ребер 175
Радіус 2
Діаметр 2[1]
Обхват 5[1]
Автоморфізм 252 000
(PSU(3,52):2)[2]
Хроматичне число 4
Хроматичний індекс 7[3]
Властивості Сильно регулярний
Симетричний
Гамільтонів
Цілий
Клітка
Граф Мура
Граф Гофмана — Синглтона. Підграф синіх ребер є сумою десяти неперетинних п'ятикутників.

Побудова

Тут наведено дві побудови графа Гофмана — Синглтона.[6]

Побудова з п'ятикутників та пентаграм

Візьміть п'ять п'ятикутників Ph і п'ять пентаграми Qi, так щоб вершина j з Ph була суміжною з вершинами j−1 та j+1 з Ph і вершина j з Qi  була суміжною з вершинами j−2 та j+2 з Qi. Тепер приєднайте вершину j з Ph до вершини h·i+j з Qi. (Всі індекси за модулем 5.)[6]

Побудова з площин Фано

Будь-яку множину зі семи точок (як абстрактних математичних об'єктів) можна перетворити на площину Фано, додавши сім ліній на них. Кількість різних способів зробити це — 30 = 7!/168. Тут 7! — це число перестановок із семи точок. 168 — число симетрій площини Фано, і, як наслідок, кількість перестановок, які зберігають будь-який заданий набір ліній, які утворюють площину Фано. Серед цих 30 різних площин Фано, кожна підмножина трьох точок використовується як лінія в 6 з 30 площин. Для будь-якої з цих 30 площин Фано, є 14 інших, які розділяють принаймні один рядок з ними.

Також сама множина з семи точок теж має 35 різних підмножин, які складаються з трьох елементів («тріад»), підрахованих за допомогою біноміального коефіцієнта .

Граф Гофмана — Синглтона в такому разі можна побудувати з двох множин вершин:

  • по одній для кожної площини Фано в наборі з 15 площин, які формуються вибором однієї довільної і 14 інших, які розділяють лінію з ним, та
  • по одній для кожної тріади.

Ці вершини з'єднані ребрами двох типів:

  • між кожною вибраною площиною Фано і 7 тріад, які відповідають її лінії, та
  • між тріадами зі спільних точок.[6]

Алгебраїчні властивості

Група автоморфізмів графа Гофмана — Синглтона є групою порядку 252 000 ізоморфною PΣU(3,52) напівпрямому добутку проєктивної спеціальної унітарної групи PSU(3,52) з циклічною групою порядку 2, породженої автоморфізму Фробеніуса. Він діє транзитивно на вершини, ребра і дуги графа. Тому граф Гофмана — Синглтона симетричний граф. Стабілізатор вершини графа є ізоморфом симетричної групи S7 по 7 букв. Стабілізатор множини ребер ізоморфний Aut(A6)=A6.22, де A6 є знакозмінною групою по 6 букв. Обидва з цих двох типів стабілізаторів є максимальними підгрупами всієї групи автоморфізмів графа Гофмана — Синглтона.

Характеристичний поліном графа Гофмана — Синглтона дорівнює . Тому граф Гофмана — Синглтона є інтегральним графом: його спектр повністю складається з цілих чисел.

Підграфи

Використовуючи тільки той факт, що граф Гофмана — Синглтона є сильно регулярним графом із параметрами (50,7,0,1), можна показати, що існує 1260 5-циклів, що містяться у графі Гофмана — Синглтона.

Крім того, граф Гофмана — Синглтона містить 525 копій графа Петерсена. Видалення будь-якого одного з них залишає копію унікальної (6,5)-клітки.[7]

Див. також

  • Таблиця найбільших відомих графів заданого діаметра і максимального степеня

Примітки

  1. Weisstein, Eric W. Hoffman-Singleton Graph(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  2. Hafner, P. R. "The Hoffman-Singleton Graph and Its Automorphisms." J. Algebraic Combin. 18, 7-12, 2003.
  3. Royle, G. "Re: What is the Edge Chromatic Number of Hoffman-Singleton?" GRAPHNET@istserv.nodak.edu posting. Sept. 28, 2004.
  4. Brouwer, Andries E.. Hoffman-Singleton graph..
  5. Hoffman, Alan J.; Singleton, Robert R. (1960). Moore graphs with diameter 2 and 3. IBM Journal of Research and Development 5 (4): 497–504. MR 0140437. doi:10.1147/rd.45.0497..
  6. Baez, John (1 лютого 2016). Hoffman–Singleton Graph. Visual Insight (American Mathematical Society).
  7. Wong, Pak-Ken. On the uniqueness of the smallest graph of girth 5 and valency 6. Journal of Graph Theory 3: 407–409. doi:10.1002/jgt.3190030413.

Посилання

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.