Напівпрямий добуток

Нехай задана дія групи ${\displaystyle H}$ на просторі групи ${\displaystyle N}$ із збереженням її групової структури. Це означає, що задано гомоморфізм ${\displaystyle \phi :H\rightarrow {\mbox{Aut}}(N)}$ групи ${\displaystyle H}$ в групу автоморфізмів групи ${\displaystyle N}$. Автоморфізм групи ${\displaystyle N}$, що відповідає елементу ${\displaystyle h}$ із ${\displaystyle H}$ при гомоморфізмі ${\displaystyle \phi }$ позначимо ${\displaystyle \phi _{h}}$. Як група ${\displaystyle G}$ — напівпрямий добуток груп ${\displaystyle H}$ і ${\displaystyle N}$ над гомоморфізмом ${\displaystyle \phi }$ — береться множина ${\displaystyle N\times H}$ з бінарної операцією ${\displaystyle *}$, яка діє за правилом:

${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}\phi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})}$ для довільних ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in N}$, ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$.

1. Групи ${\displaystyle H}$ і ${\displaystyle N}$ природно вкладені в ${\displaystyle G}$, причому ${\displaystyle N}$ — нормальна підгрупа в ${\displaystyle G}$.
2. Кожен елемент ${\displaystyle g\in G}$ однозначно розкладемо у добуток ${\displaystyle g=nh}$, де ${\displaystyle h}$ і ${\displaystyle n}$ — елементи груп ${\displaystyle H}$ і ${\displaystyle N}$ відповідно. (Ця властивість виправдовує назву групи ${\displaystyle G}$ як напівпрямого добутку груп ${\displaystyle H}$ і ${\displaystyle N}$.)
3. Задана дія ${\displaystyle \phi }$ груп ${\displaystyle H}$ на групі ${\displaystyle N}$ збігається з дією ${\displaystyle H}$ на ${\displaystyle N}$ спряженнями (в групі ${\displaystyle G}$).

Будь-яка група з властивостями 1-3 ізоморфна групі ${\displaystyle G}$ (властивість універсальності напівпрямогу добутку груп).

Група ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ діє на ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$ (розглядається як адитивна група відповідного кільця) чотирма різними способами:

${\displaystyle \phi _{h}(n)=a^{h}n}$, де ${\displaystyle a}$ — фіксований ненульовий елемент ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$, ${\displaystyle h\in \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{5}}$.

Відповідно, на множині ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{4}}$ можна ввести 4 структури групи - напівпрямого добутку:

1. ${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+n_{2},h_{1}+h_{2})\,}$
2. ${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+(-1)^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})}$
3. ${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+2^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})}$
4. ${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+3^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})}$

Можна показати, що останні дві групи ізоморфні, а решта - ні, а також, що ці приклади перераховують всі групи порядку 20, що містять елемент порядку 4 (при цьому використовуються теореми Силова).

Подібним чином напівпрямі добутки груп використовуються для класифікації скінченних груп.

• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)