Гіпероктаедр

${\displaystyle n}$-вимірний гіпероктаедр має ${\displaystyle 2n}$ вершин; будь-яка вершина з'єднана ребром з іншою — крім (при ${\displaystyle n>1)}$ вершини, симетричної їй відносно центра політопа.

Всі його ${\displaystyle k}$-вимірні гіперграні ${\displaystyle (k<n)}$ — однакові правильні симплекси; їх число дорівнює ${\displaystyle 2^{k+1}C_{n}^{k+1}.}$

Кут між двома суміжними ${\displaystyle (n-1)}$-вимірними гіпергранями (при ${\displaystyle n>1)}$ дорівнює ${\displaystyle \arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)}$.

${\displaystyle n}$-вимірний гіпероктаедр ${\displaystyle (n>1)}$ можна подати як дві однакові правильні ${\displaystyle n}$-вимірних піраміди, прикладені одна до одної своїми основами у формі ${\displaystyle (n-1)}$-вимірного гіпероктаедра.

${\displaystyle n}$-вимірний гіпероктаедр можна розташувати в декартовій системі координат так, щоб його вершини мали координати ${\displaystyle (\pm 1;0;\ldots ;0),}$ ${\displaystyle (0;\pm 1;\ldots ;0),\ldots ,}$ ${\displaystyle (0;0;\ldots$ ;\pm 1).} При цьому кожна з ${\displaystyle 2^{n}}$ його ${\displaystyle (n-1)}$-вимірних гіперграней буде розташовуватися в одному з ${\displaystyle 2^{n}}$ ортантів ${\displaystyle n}$-вимірного простору.

Початок координат ${\displaystyle (0;0;...;0)}$ буде центром симетрії політопа, а також центром його вписаної, описаної і напівуписаних гіперсфер.

Поверхня гіпероктаедра буде геометричним місцем точок, ${\displaystyle (x_{1};x_{2};\ldots ;x_{n}),}$ чиї координати задовольняють рівнянню

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|=1,}$

а внутрішність — геометричним місцем точок, для яких

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|<1.}$

Якщо ${\displaystyle n}$-вимірний гіпероктаедр ${\displaystyle (n>1)}$ має ребро довжини ${\displaystyle a,}$ його ${\displaystyle n}$-вимірний гіпероб'єм і ${\displaystyle (n-1)}$-вимірна гіперплоща поверхні виражаються відповідно як

${\displaystyle V_{n}={\frac {(a{\sqrt {2}})^{n}}{n!}},}$

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {a^{n-1}{\sqrt {n2^{n+1}}}}{(n-1)!}}.}$

Радіус описаної ${\displaystyle (n-1)}$-вимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини) при цьому дорівнює

${\displaystyle R=\rho _{0}={\frac {a}{\sqrt {2}}},}$

радіус ${\displaystyle k}$-ї напівуписаної гіперсфери (дотикається до всіх ${\displaystyle k}$-вимірних гіперграней у їх центрах; ${\displaystyle k<n}$) —

${\displaystyle \rho _{k}={\frac {a}{\sqrt {2(k+1)}}},}$

радіус уписаної гіперсфери (дотикається до всіх ${\displaystyle (n-1)}$-вимірних гіперграней у їх центрах) —

${\displaystyle r=\rho _{n-1}={\frac {a}{\sqrt {2n}}}.}$

• Weisstein, Eric W. Гіпероктаедр(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.