Гіпероктаедр
Гіпероктаедр — геометрична фігура в n-вимірному евклідовому просторі: правильний політоп, двоїстий n-вимірному гіперкубу. Інші назви: кокуб[1], ортоплекс, крос-політоп.
Символ Шлефлі n-вимірного гіпероктаедра— {3;3;…;3;4}, де всього в дужках (n-1) число.
Гіпероктаедр можна розуміти як кулю в метриці міських кварталів.
Часткові випадки
Число вимірів n | Назва фігури | Символ Шлефлі | Зображення |
---|---|---|---|
1 | відрізок | {} | |
2 | квадрат | {4} | |
3 | октаедр | {3; 4} | |
4 | шістнадцятикомірник | {3; 3; 4} | |
5 | 5-ортоплекс | {3,3,3,4} |
Опис
-вимірний гіпероктаедр має вершин; будь-яка вершина з'єднана ребром з іншою — крім (при вершини, симетричної їй відносно центра політопа.
Всі його -вимірні гіперграні — однакові правильні симплекси; їх число дорівнює
Кут між двома суміжними -вимірними гіпергранями (при дорівнює .
-вимірний гіпероктаедр можна подати як дві однакові правильні -вимірних піраміди, прикладені одна до одної своїми основами у формі -вимірного гіпероктаедра.
В координатах
-вимірний гіпероктаедр можна розташувати в декартовій системі координат так, щоб його вершини мали координати При цьому кожна з його -вимірних гіперграней буде розташовуватися в одному з ортантів -вимірного простору.
Початок координат буде центром симетрії політопа, а також центром його вписаної, описаної і напівуписаних гіперсфер.
Поверхня гіпероктаедра буде геометричним місцем точок, чиї координати задовольняють рівнянню
а внутрішність — геометричним місцем точок, для яких
Метричні характеристики
Якщо -вимірний гіпероктаедр має ребро довжини його -вимірний гіпероб'єм і -вимірна гіперплоща поверхні виражаються відповідно як
Радіус описаної -вимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини) при цьому дорівнює
радіус -ї напівуписаної гіперсфери (дотикається до всіх -вимірних гіперграней у їх центрах; ) —
радіус уписаної гіперсфери (дотикається до всіх -вимірних гіперграней у їх центрах) —
Примітки
- Е. Ю. Смирнов. Группы отражений и правильные многогранники. — М.: МЦНМО, 2009. — С. 44.
Посилання
- Weisstein, Eric W. Гіпероктаедр(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.