Диферентний ідеал

У алгебраїчній теорії чисел і абстрактній алгебрі диферентним ідеалом або диферентою називається деякий ідеал пов'язаний із розширенням дедекіндових кілець. Диферентний ідеал пов'язаний із поняттями дискримінанта і норми ідеалу і є важливим, зокрема для дослідження розгалуження простих ідеалів.

Означення

Нехай A — дедекіндове кільце, K — його поле часток, Lскінченне сепарабельне розширення поля K, Bціле замикання кільця A в L. Нехай L — деяка адитивна підгрупа поля E.

Для неї можна ввести доповнюючу множину L' (щодо сліду) як сукупність всіх тих , для яких

L' є адитивною підгрупою у E. Якщо — дві адитивні підгрупи, то . Якщо Al = L то також AL' = L'.

Зокрема якщо L = B то B' є дробовим ідеалом кільця B. Оскільки B є дедекіндовим кільцем для дробового ідеалу B' існує обернений дробовий ідеал у групі дробових ідеалів.

Ідеал називається диферентним ідеалом або диферентою розширення B/A. Диферентний ідеал є звичайним ідеалом кільця B.

У алгебричній теорії чисел цей ідеал також називається відносним диферентним ідеалом. Абсолютним диферентним ідеалом числового поля K називається . цьому випадку використовується позначення .

Якщо — дробовий ідеал кільця B то теж є адитивною підгрупою і диферентним ідеалом цього дробового ідеалу називається дробовий ідеал .

Приклад

Нехай , де число, вільне від квадратів. Тоді для абсолютного диферентного ідеала:

Властивості

  • Диферентний ідеал розширення B/A є звичайним ідеалом кільця B. Диферента довільного дробового ідеалу теж є дробовим ідеалом.
  • Якщо при тих же позначеннях, що і вище  — відносний диферентний ідеал і  — диферентний ідеал дробового ідеалу то .
  • Диферентний ідеал породжується елементами виду , де і  похідна мінімального многочлена елемента над полем K. Зокрема тоді і тільки тоді коли є головним ідеалом породженим елементом .
  • Якщо є скінченними сепарабельними розширеннями з властивостями, як і вище, то
  • Нехай S — мультиплікативна система у кільці A. Тоді , де позначає локалізацію кільця за множиною S.
  • , де позначає відносний дискримінант розширення B/A, а  норму ідеалу.
  • У випадку числових полів клас відносного диферента завжди є квадратом у групі класів ідеалів. У загальному випадку це не так. Наприклад Фреліх і Тейт знайшли приклад скінченного сеперабельного розширення функціональних полів однієї змінної для якого відносний диферент не є квадратом.
  • При тих же позначеннях, що і вище і для кожного простого ідеалу кільця B позначимо  поповнення кільця B щодо нормування за ідеалом . У цьому випадку є простим ідеалом кільця A і поповнення за цим ідеалом позначимо . Тоді є справедливою рівність:
Добуток у правій частині має зміст оскільки для всіх простих ідеалів окрім скінченної кількості .

Диферент і розгалуження простих ідеалів

Нехай A — дедекіндове кільце, K — його поле часток, L — скінченне сепарабельне розширення поля K, B — ціле замикання кільця A в L. Припустимо також, що для будь-якого простого ідеалу кільця B поле лишків є досконалим.

Нехай тепер простий ідеал кільця A. Тоді , де — прості ідеали кільця B, що містять (їх кількість є скінченною), а називаються індексами розгалуження ідеалів . Якщо то кажуть, що відповідний ідеал розгалужується.

Розгалуження є тісно пов'язані із диферентами. А саме простий ідеал розгалужується тоді і тільки тоді коли він ділить диферент . До того ж якщо характеристика поля не ділить , то найбільшим степенем на який ділиться є . В іншому випадку ділиться на вищий степінь ідеалу .

Див. також

Література

  • Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin (1991). Algebraic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 27. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36664-X. Zbl 0744.11001.
  • Hecke, Erich (1981). Lectures on the theory of algebraic numbers. Graduate Texts in Mathematics 77. New York–Heidelberg–Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-90595-2. Zbl 0504.12001.
  • Koch, Helmut (2000). Number Theory: Algebraic Numbers and Functions. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society. ISBN 9780821820544.
  • Lang, Serge (1994). Algebraic Number Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94225-4.
  • Narkiewicz, Władysław (1990). Elementary and analytic theory of algebraic numbers (вид. 2nd, substantially revised and extended). Springer-Verlag; PWN-Polish Scientific Publishers. ISBN 3-540-51250-0. Zbl 0717.11045.
  • Serre, Jean-Pierre (1979). Local Fields. Graduate Texts in Mathematics 67. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90424-7. Zbl 0423.12016.
  • Weiss, Edwin (1976). Algebraic Number Theory (вид. 2nd unaltered). Chelsea Publishin. ISBN 0-8284-0293-0. Zbl 0348.12101.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.