Ціле розширення кільця

• Цілий елемент є алгебраїчним над R.
• Якщо R — поле, то вірним є і зворотне твердження.
• Елементи поля комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , цілі над кільцем ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, називаються цілими алгебраїчними числами.
• Якщо кільце B є скінченно породженим модулем над R, то будь-який елемент ${\displaystyle x\in B}$ є цілим над R, тобто розширення є цілим (зворотне може не бути вірним).

• Нехай кільце ${\displaystyle A\supset R}$ — комутативне, x і y — елементи A, цілі над R. Тоді x + y і xy також цілі над R, і множина всіх елементів з A, цілих над R, утворює підкільце, що називається цілим замиканням R в A.

* Якщо B є цілим над R і R'  — деяка R-алгебра, то ${\displaystyle B\bigotimes R^{'}}$ є цілим над R'.  

• Якщо В — ціле розширення кільця R і S — деяка мультиплікативна підмножина в R, локалізація S^-1B є цілим розширенням локалізації S^-1R.

Нехай ${\displaystyle (a/s)\in S^{-1}B}$, де ${\displaystyle a\in B,\;s\in S}$. Тоді, оскільки розширення є цілим, для ${\displaystyle a}$ виконується рівність ${\displaystyle a^{n}+r_{1}a^{n-1}+\ldots +r_{n}=0}$ для деяких ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\;r_{i}\in R}$. Як наслідок ${\displaystyle (a/s)^{n}+(r_{1}/s)(a/s)^{n-1}+\ldots +(r_{n}/s^{n})=0}$ і оскільки всі ${\displaystyle r_{i}/s^{i}\in S^{-1}R}$, то дана рівність є рівнянням цілої залежності елемента ${\displaystyle (a/s)}$ над кільцем ${\displaystyle S^{-1}R}$. Оскільки елемент був обраний довільно, отримуємо необхідний результат.

• Нехай ${\displaystyle B\supset A\supset R}$ розширення ${\displaystyle B\supset R}$ є цілим тоді і лише тоді, коли цілими є обидва розширення ${\displaystyle B\supset A}$ і ${\displaystyle A\supset R}$.
• Якщо В — ціле розширення кільця R, J — ідеал кільця В і ${\displaystyle I=J\cap R}$. Тоді фактор-кільце ${\displaystyle B/J}$ буде цілим розширенням фактор-кільця ${\displaystyle R/I}$.

Позначимо ${\displaystyle {\bar {a}}=a+J\in B/J}$. Для ${\displaystyle a}$ виконується рівність ${\displaystyle a^{n}+r_{1}a^{n-1}+\ldots +r_{n}=0}$ для деяких ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\;r_{i}\in R}$. Перейшовши до фактор-кільця за ідеалом J і ідентифікуючи ${\displaystyle R/I}$ як підкільце ${\displaystyle B/J}$, отримуємо рівність ${\displaystyle {\bar {a}}^{n}+{\bar {r_{1}}}{\bar {a}}^{n-1}+\ldots +{\bar {r_{n}}}=0,\;{\bar {r_{i}}}\in R/I}$, яка і є необхідним рівнянням цілої залежності.

• Нехай ${\displaystyle A\supset R}$ — ціле розширення областей цілісності. Тоді A є полем, якщо і тільки якщо R є полем.

Припустимо, що R є полем і ${\displaystyle 0\neq a\in A}$. ${\displaystyle a^{n}+r_{1}a^{n-1}+\ldots +r_{n}=0}$ для деяких ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\;r_{i}\in R}$. Степінь многочлена n можна вибрати мінімальним. Тоді ${\displaystyle r_{n}\neq 0}$, оскільки A є областю цілісності і для нього існує обернений елемент адже він належить полю R. Тому ${\displaystyle r_{n}^{-1}(a^{n-1}+r_{1}a^{n-2}+\ldots +r_{n-1})a=1}$, тож для ${\displaystyle a}$ існує обернений елемент рівний ${\displaystyle r_{n}^{-1}(a^{n-1}+r_{1}a^{n-2}+\ldots +r_{n-1})}$, що завершує першу частину доведення.

Навпаки, припустимо, що A є полем і ${\displaystyle 0\neq b\in R}$. Тоді для ${\displaystyle b}$ як елемента поля A в цьому полі існує обернений елемент. Позначимо ${\displaystyle a=b^{-1}.}$ Для ${\displaystyle a}$ існує рівняння цілої залежності над R: ${\displaystyle a^{n}+r_{1}a^{n-1}+\ldots +r_{n}=0}$ для деяких ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\;r_{i}\in R}$. Помноживши обидві сторони рівняння на ${\displaystyle b^{n}}$ отримаємо рівність ${\displaystyle 1+r_{1}b+\ldots +r_{n}b^{n}=0.}$ Звідси бачимо, що елемент ${\displaystyle -(r_{1}+\ldots +r_{n}b^{n-1})}$ є оберненим до ${\displaystyle b}$ і належить R. Тобто R теж є полем.

• Нехай ${\displaystyle A\supset R}$ — ціле розширення кілець, ${\displaystyle P'}$ — простий ідеал кільця A і ${\displaystyle P=P'\cap R.}$ Тоді ідеал ${\displaystyle P'}$ є максимальним тоді і тільки тоді коли ідеал ${\displaystyle P}$ є максимальним.

Згідно попередніх властивостей фактор-кільце ${\displaystyle A/P'}$ є цілим розширенням фактор-кільця ${\displaystyle R/P}$. Оскільки обидва ідеали є простими, то ці фактор-кільця є областями цілісності. Згідно попередньої властивості ${\displaystyle A/P'}$ є полем тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle R/P}$ є полем і необхідний результат випливає з того, що ідеал є максимальним тоді і тільки тоді коли фактор-кільце по ньому є полем.

• Нехай ${\displaystyle A\supset R}$ — ціле розширення кілець, ${\displaystyle P_{1}\subseteq P_{2}}$ — прості ідеали кільця A і ${\displaystyle P_{1}\cap R=P_{2}\cap R=P}$. Тоді ${\displaystyle P_{1}=P_{2}}$.

Локалізація ${\displaystyle A_{P}}$ (по мультиплікативній множині ${\displaystyle R\setminus P}$) є цілим розширенням локалізації ${\displaystyle R_{P}}$. Також ${\displaystyle P_{1}A_{P}\subseteq P_{2}A_{P}}$ є простими ідеалами кільця ${\displaystyle A_{P}}$. Оскільки ${\displaystyle P_{1}A_{P}\cap R_{P}=P_{2}A_{P}\cap R_{P}=PR_{P}}$ і останній ідеал є максимальним в ${\displaystyle R_{P}}$ , то за попередньою властивістю ${\displaystyle P_{1}A_{P}}$ і ${\displaystyle P_{2}A_{P}}$ теж є максимальними ідеалами у ${\displaystyle A_{P}}$. Тому ${\displaystyle P_{1}A_{P}=P_{2}A_{P}}$, звідки також ${\displaystyle P_{1}=P_{2}}$.

• Область цілісності R називається цілозамкнутою, якщо ціле замикання R в своєму полі часток рівне R. Факторіальне кільце є цілозамкнутим. Кільце R є цілозамкнутим тоді і тільки тоді для будь-якого максимального ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ з R цілозамкнутим є локальне кільце ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$.

• Нехай A — ціле розширення R і ${\displaystyle P}$ — деякий простий ідеал кільця R. Тоді існує простий ідеал ${\displaystyle P'}$ кільця A, що лежить над ${\displaystyle P}$ (тобто такий, що ${\displaystyle P=P'\cap R}$).

Гомоморфізм включення ${\displaystyle i:R\to A}$ однозначно задає гомоморфізм включення локалізацій ${\displaystyle {\bar {i}}:R_{P}\to A_{P}.}$ Нехай M — довільний максимальний ідеал кільця ${\displaystyle A_{P}}$. З попередніх властивостей його перетин ${\displaystyle M\cap R_{P}}$ має бути максимальним ідеалом кільця ${\displaystyle R_{P}}$, тобто ${\displaystyle M\cap R_{P}=PR_{P}.}$

Розглянемо тепер гомоморфізми ${\displaystyle p:R\to R_{P},\ {\bar {p}}:A\to A_{P}}$ задані як ${\displaystyle r\to r/1,a\to a/1\;\;r\in R,a\in A}$. Тоді ${\displaystyle p\circ {\bar {i}}=i\circ {\bar {p}}}$.

Ідеал ${\displaystyle P'={\bar {p}}^{-1}(M)}$ є простим ідеалом кільця A для якого ${\displaystyle P'\cap R=i^{-1}(P')=p^{-1}(PR_{P})=P}$, тобто даний ідеал задовольняє вимоги теореми.

• Теорема про підняття. Нехай ${\displaystyle A\supset R}$ — ціле розширення кілець, ${\displaystyle P_{1}\subset P_{2}\subset \ldots \subset P_{n}}$ — послідовність простих ідеалів кільця R і ${\displaystyle P_{1}'\subset P_{2}'\subset \ldots \subset P_{m}',\;\;(m<n)}$— послідовність простих ідеалів кільця A, для яких ${\displaystyle P_{i}=P_{i}'\cap R,\;\;i\in 1,...,m}$. Тоді існують прості ідеали ${\displaystyle P_{m+1}',\ldots ,P_{n}'}$ кільця A, такі що ${\displaystyle P_{1}'\subset P_{2}'\subset \ldots \subset P_{n}'}$ і${\displaystyle P_{i}=P_{i}'\cap R,\;\;i\in 1,...,n}$.

Очевидно теорему достатньо довести для n =2, m =1. Загальний результат тоді випливає за допомогою математичної індукції.

При тих же позначеннях, що і вище фактор-кільце ${\displaystyle A/P_{1}'}$ є цілим розширенням фактор-кільця ${\displaystyle R/P_{1}}$ і ${\displaystyle P_{2}/P_{1}}$ є простим ідеалом кільця ${\displaystyle R/P_{1}}$. Тому існує простий ідеал кільця ${\displaystyle A/P_{1}'}$, що лежить над ${\displaystyle R/P_{1}}$. Згідно властивостей фактор-кілець цей ідеал має вигляд ${\displaystyle P_{2}'/P_{1}'}$ де ${\displaystyle P_{2}'}$ є простим ідеалом кільця A для якого ${\displaystyle P_{1}'\subset P_{2}'}$. Очевидно, що ${\displaystyle P_{2}=P_{2}'\cap R.}$

• Нехай ${\displaystyle A\supset R}$ — ціле розширення кілець. Тоді ${\displaystyle \dim A=\dim R}$ і для довільних ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset A}$і ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\subset R}$ для яких ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap B={\mathfrak {b}}}$виконується нерівність ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {a}}\leqslant \operatorname {ht} {\mathfrak {b}}.}$
• Якщо L — скінченне розширення поля часток кільця R і В — ціле замикання R в L, то існує лише скінченна кількість простих ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ кільця В, що лежать над заданим простим ідеалом кільця R.

• Ю. Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії. ВНТЛ–Класика. Львів, 2004.
• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
• Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Integral closure of ideals, rings, and modules, London Mathematical Society Lecture Note Series, 336, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-68860-4