Теорема Нетер

Нехай у просторі-часі, в якому записаний вираз для дії, існують певні симетрії. Це означає, що інтеграл, через який визначається дія, не змінюється при застосуванні деяких неперервних перетворень, кожне з яких відповідає своїй симетрії. Це означає, що не змінюються і рівняння руху. Шукані перетворення, які задовольнують цій умові, і треба знайти.

Нехай є деякі неперервні перетворення координат, ${\displaystyle \ {x}'^{\mu }}$, та полів, ${\displaystyle \ {\Psi }'^{\mu }}$, що залежать від ${\displaystyle \ m}$ дійсних параметрів ${\displaystyle \ \omega ^{\alpha }=(\omega ^{1},...,\omega ^{m})}$. Тоді

${\displaystyle \ x^{\mu }:{x}'^{\mu }=f^{\mu }(x,\omega ^{\alpha }),\quad \Psi _{k}(x):\Psi '_{k}(x')=F_{k}(\Psi (x),\omega ^{\alpha })\qquad (.1)}$,

причому при тотожних перетвореннях можна записати, що

${\displaystyle \ f(x^{\mu },0)=x^{\mu },F(\Psi (x),0)=\Psi (x)\qquad (.2)}$,

а умовою інваріантності дії при перетвореннях цих величин є

${\displaystyle \ \int \limits _{\omega '}L[\Psi '(x'),\partial _{\mu }\Psi '(x')]d^{4}x'=\int \limits _{\omega }L[\Psi (x),\partial _{\mu }\Psi (x)]d^{4}x\qquad (.3)}$,

де врахована залежність функції Лагранжа від як від часу, так і від точки: у частинному випадку, коли функція Лагранжа записана для скалярних функцій, вона залежить лише від часу, проте у більш загальному випадку вона записана для векторних функцій, а отже, залежить від 4-вектора ${\displaystyle \ r^{\mu }=(ct,\mathbf {r} )}$.

Для малих ${\displaystyle \ \omega ^{\alpha }}$, з урахуванням ${\displaystyle \ (.2)}$, ${\displaystyle \ (.1)}$ можна розкласти в ряд до лінійних по ${\displaystyle \ \omega ^{\alpha }}$ доданків:

${\displaystyle \ f(x^{\mu },\omega ^{\alpha })\approx x+\sum \limits _{\alpha }{\frac {\partial f(x^{\mu },\omega ^{\alpha })}{\partial \omega ^{\alpha }}}\omega ^{\alpha }=x^{\mu }+\delta x^{\mu },\quad F_{k}(\Psi _{k}(x),w^{\alpha })\approx \sum \limits _{k}\Psi _{k}(x)+\sum \limits _{\alpha ,k}{\frac {\partial \Psi _{k}}{\partial \omega ^{\alpha }}}\omega ^{\alpha }=\sum \limits _{k}\Psi _{k}(x)+\sum \limits _{k}\delta \Psi _{k}(x)\qquad (.4)}$.

У подальшому позначення суми для цих і пов'язаних із ними виразів не будуть писатися.

Для того, щоб виділити у перетворенні поля перетворення, що змінює функціональну залежність поля від аргументів, і перетворення, що змінює значення полів, можна розкласти поле для малого приросту координати ${\displaystyle \ \delta x}$:

${\displaystyle \ \Psi _{k}'(x')\approx \Psi _{k}'(x+\delta x)=\Psi _{k}'(x)+\delta x^{\mu }\partial _{\mu }\Psi _{k}(x)\qquad (.5)}$,

де штрих при ${\displaystyle \ \Psi _{k}}$ у другому доданку прибрано для збереження порядку малості по ${\displaystyle \ \omega ^{\alpha }}$.

З іншого боку, сраведливий вираз ${\displaystyle \ (.4)}$. Якщо прирівняти ${\displaystyle \ (.4)}$ до ${\displaystyle \ (.5)}$, можна отримати:

${\displaystyle \ \Psi _{k}'(x)+\delta x^{\mu }\partial _{\mu }\Psi _{k}(x)=\Psi _{k}(x)+\delta \Psi _{k}(x)\Rightarrow \Psi _{k}'(x)=\Psi _{k}(x)+\delta \Psi _{k}(x)-\delta x^{\mu }\partial _{\mu }\Psi _{k}(x)=\Psi _{k}(x)+{\tilde {\delta }}\Psi _{k}(x)\qquad (.6)}$.

Із позначення ${\displaystyle \ \Psi '(x)}$ видно, що ${\displaystyle \ (.6)}$ відповідає за зміну форми функції без зміни функціональної залежності від ${\displaystyle \ x}$. Користуючись заміною змінних при інтегруванні, можна отримати, що

${\displaystyle \ \int \limits _{\omega '}L[\Psi '(x'),\partial _{\mu }\Psi '(x')]d^{4}x'\approx \int \limits _{\omega }\left(L[\Psi '(x),\partial _{\mu }\Psi '(x)]+\partial _{\mu }(L[\Psi (x),\partial _{\mu }\Psi (x)]\delta x^{\mu })\right)d^{4}x\qquad (.7)}$.

Залишається лише перетворити доданок ${\displaystyle \ L(\Psi '(x),\partial \Psi '(x))}$:

${\displaystyle \ L[\Psi '(x),\partial _{\mu }\Psi '(x)]=|(.6)|=L[\Psi (x)+{\tilde {\delta }}\Psi (x),\partial \Psi (x)+\partial {\tilde {\delta }}\Psi (x)]\approx L[\Psi (x),\partial _{\mu }\Psi (x)]+{\frac {\partial L}{\partial \Psi _{k}}}{\tilde {\delta }}\Psi _{k}+{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k}(x))}}\partial _{\mu }{\tilde {\delta }}\Psi _{k}(x)}$.

Підставивши це у ${\displaystyle \ (.7)}$, можна отримати:

${\displaystyle \ \int \limits _{\omega }\left(L[\Psi (x),\partial \Psi (x)]+{\frac {\partial L}{\partial \Psi _{k}}}{\tilde {\delta }}\Psi _{k}+{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k}(x))}}\partial _{\mu }{\tilde {\delta }}\Psi _{k}(x)+\partial _{\mu }(L[\Psi (x),\partial _{\mu }\Psi (x)]\delta x^{\mu })\right)d^{4}x=(.3)=\int \limits _{\omega }L[\Psi (x),\partial _{\mu }\Psi (x)]d^{4}x\Rightarrow }$

${\displaystyle \ \Rightarrow \int \limits _{\omega }\left({\frac {\partial L}{\partial \Psi _{k}}}{\tilde {\delta }}\Psi _{k}(x)+{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k}(x))}}\partial _{\mu }{\tilde {\delta }}\Psi _{k}(x)+\partial _{\mu }(L[\Psi (x),\partial _{\mu }\Psi (x)]\delta x^{\mu })\right)d^{4}x=0\qquad (.8)}$.

Використовуючи рівняння Лагранжа для векторних полів,

${\displaystyle \ \partial _{\mu }\left({\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k})}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \Psi _{k}}}}$,

із ${\displaystyle \ (.8)}$ можна отримати:

${\displaystyle \ \int \limits _{\omega }\left(\partial _{\mu }\left({\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k})}}\right){\tilde {\delta }}\Psi _{k}(x)+{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k}(x))}}\partial _{\mu }{\tilde {\delta }}\Psi _{k}(x)+\partial _{\mu }(L[\Psi (x),\partial _{\mu }\Psi (x)]\delta x^{\mu })\right)d^{4}x=0\qquad (.9)}$.

Тепер можна винести ${\displaystyle \ \partial _{\mu }}$ із виразу у дужках, оскільки із ${\displaystyle \ (.6)}$ слідує, що

${\displaystyle \ {\tilde {\delta }}\Psi _{k}=\Psi _{k}'(x)-\Psi _{k}(x)\Rightarrow {\tilde {\delta }}(\partial _{\mu }\Psi _{k})=\partial _{\mu }\Psi '_{k}-\partial _{\mu }\Psi _{k}=\partial _{\mu }({\tilde {\delta }}\Psi _{k})\Rightarrow \partial _{\mu }\left({\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k})}}\right){\tilde {\delta }}\Psi _{k}(x)+{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k}(x))}}\partial _{\mu }{\tilde {\delta }}\Psi _{k}(x)=}$

${\displaystyle \ =\partial _{\mu }\left({\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k})}}{\tilde {\delta }}\Psi _{k}(x)\right)}$.

Отже,

${\displaystyle \ \int \limits _{\omega }\partial _{\mu }\left({\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k})}}{\tilde {\delta }}\Psi _{k}(x)+\partial _{\mu }(L[\Psi (x),\partial _{\mu }\Psi (x)]\delta x^{\mu })\right)d^{4}x=|{\tilde {\delta }}\Psi _{k}=\Psi _{k}'(x)-\Psi _{k}(x),\quad \delta x^{\nu }=X_{\alpha }^{\nu }\omega ^{\alpha },\quad \delta \Psi _{k}(x)=Y_{k,\alpha }\omega ^{\alpha }|=}$

${\displaystyle \ =\int \limits _{\omega }\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k})}}\left(Y_{k,\alpha }-X_{\alpha }^{\nu }\partial _{\nu }\Psi _{k}\right)+LX_{\alpha }^{\nu }\right]\omega ^{\alpha }d^{4}x=0\qquad (.9)}$.

Отже, якщо дія інваріантна відносно деяких перетворень координат та полів, ${\displaystyle \ x'=f(x,\omega ^{\alpha }),\quad \Psi '(x)=F(\Psi (x),\omega ^{\alpha })}$, ${\displaystyle \ \alpha =1,....,m}$, то існує m величин ${\displaystyle \ J_{\alpha }^{\mu }}$

${\displaystyle \ J_{\alpha }^{\mu }={\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k})}}Y_{k,\alpha }-\left({\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }\Psi _{k})}}\partial _{\nu }\Psi _{k}-\delta _{\nu }^{\mu }L\right)X_{\alpha }^{\nu }}$

(${\displaystyle \ \delta _{\nu }^{\mu }}$ - символ Кронекера), причому з ${\displaystyle \ (.9)}$ видно, що

${\displaystyle \ \partial _{\mu }J_{\alpha }^{\mu }=\partial _{0}J_{\alpha }^{0}+\partial _{j}J_{\alpha }^{j}={\frac {\partial J_{\alpha }^{0}}{\partial t}}+\nabla _{j}J_{\alpha }^{j}=0\qquad (.10)}$.

Отже, можна провести аналогію ${\displaystyle \ J_{\alpha }^{\mu }}$ зі струмами, оскільки останнє рівняння є рівнянням неперервності. З нього ж можна отримати, що

${\displaystyle \ {\frac {\partial J_{\alpha }^{0}}{\partial t}}={\frac {dQ_{\alpha }}{dt}}=-\int \nabla _{j}J_{\alpha }^{j}=-\int J_{\alpha }^{j}dS,Q_{\alpha }=\int \limits _{V}J_{\alpha }^{0}(t,\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} \qquad (.11)}$,

де величина ${\displaystyle \ Q}$ умовно названа "зарядом", а просторові компоненти ${\displaystyle \ J_{\alpha }^{j}}$ можна інтерпретувати як деякий вектор потоку, що змінює ці "заряди" при пересіканні потоком поверхні ${\displaystyle \ S}$, що обмежує об'єм ${\displaystyle \ V}$. Якщо поля на нескінченності зникають, то з ${\displaystyle \ (.11)}$ слідує, що ${\displaystyle \ {\frac {dQ_{\alpha }}{dt}}=0}$, Оскільки при віднесенні поверхні ${\displaystyle \ S}$ на нескінченність слідує, що потік ${\displaystyle \ J_{\alpha }^{j}}$ через неї рівен нулю.