Ребро (геометрія)

Ребро́ — в геометрії одновимірний відрізок, що з'єднує дві сусідні нульвимірні вершини многокутника, багатогранника або політопа довільної вимірності.[1] В многокутнику ребро ще називають стороною.[2] В багатограннику або, більш загально, у політопі ребро є відрізком в якому дві грані з'єднуються.[3] Відрізок, який з'єднує дві вершини та проходить всередині або зовні не є ребром, натомість його називають діагоналлю.


Три ребра: AB, BC і CA — кожне між двома вершинами трикутника.
Багатокутник, обмежений чотирма сторонами; Цей квадрат має 4 ребра.

У багатограннику кожне ребро розділяє 2 грані, як у цьому кубі.
Кожне ребро розділяє 3 або більше граней у чотиривимірному багатограннику, як показано на цій проекції тесеракту.
Многокутник ABCDEF з позначеними червоним кольором ребрами BC і DE

Замкнута послідовність ребер на площині утворює многокутник або грань багатогранника.

Ребра в графах

В теорії графів, ребра — це абстрактний об'єкт, що з'єднує дві вершини графу, на відміну від багатокутника і багатогранника, ребра якого мають конкретне геометричне подання у вигляді лінійного сегмента. Однак, будь-який поліедр може бути представлений у вигляді його кістяку, а саме графом, вершини якого є вершинами многогранника, і у геометричному вигляді[4]. З іншого боку, графи, які є скелетами тривимірних багатогранників, можна охарактеризувати по теоремі Штейніца як з'єднані трьома вершинами планарні графи[5].

Число ребер багатогранника

Будь-який опуклий багатокутник має Ейлерову характеристику:

де V — число вершин, Е — число ребер і F — число граней. Це рівняння відоме як формула Ейлера для багатогранника. Таким чином, число ребер на 2 менше, ніж сума числа вершин і граней. Наприклад, куб має 8 вершин і 6 граней, 12 ребер.

Належність граням

У полігоні два ребра зустрічаються у кожній вершині; в цілому за теоремою М. Балінського існує принаймні n граней в кожній вершині n-вимірного опуклого багатогранника[6]. Аналогічно у багатограннику рівно дві грані відповідає кожному ребру[7], у той час як у вищих вимірностях ребру може відповідати три грані або й більше.

Альтернативна термінологія

У теорії багатомірних опуклих багатогранників грані або сторони n-вимірного багатогранника є одними з його (n − 1)-вимірною особливостей, що хребет — це (n − 2)-вимірних просторових об'єктів, і пік це (n − 3)-вимірний просторовий об'єкт. Таким чином, ребрами полігону є його грані, ребрами 3-вимірного опуклого багатогранника є його хребти, а піки 4-вимірного багатогранника є його вершини[8].

Примітки
  1. Ziegler, Günter M. (1995). Lectures on Polytopes. Graduate Texts in Mathematics 152. Springer. Definition 2.1, p. 51..
  2. Weisstein, Eric W. «Polygon Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolygonEdge.html
  3. Weisstein, Eric W. «Polytope Edge.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolytopeEdge.html
  4. Senechal, Marjorie (2013). Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination. Springer. с. 81. ISBN 9780387927145..
  5. Pisanski, Tomaž; Randić, Milan (2000). Bridges between geometry and graph theory. У Gorini, Catherine A. Geometry at work. MAA Notes 53. Washington, DC: Math. Assoc. America. с. 174–194. MR 1782654.. See in particular Theorem 3, p. 176.
  6. Balinski, M. L. (1961). On the graph structure of convex polyhedra in n-space. Pacific Journal of Mathematics 11 (2): 431–434. MR 0126765. doi:10.2140/pjm.1961.11.431..
  7. Wenninger, Magnus J. (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. с. 1. ISBN 9780521098595..
  8. Seidel, Raimund (1986). Constructing higher-dimensional convex hulls at logarithmic cost per face. Proceedings of the Eighteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86). с. 404–413. doi:10.1145/12130.12172..

Див. також
  • Теорема Балінського
  • Продовжена сторона

Посилання
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.