Квадратура круга Тарського

Чи можливо розрізати круг на скінченну кількість частин і зібрати з них квадрат такої ж площі? Або, формальніше, чи можливо розбити круг на скінченну кількість підмножин, які попарно не перетинаються, і пересунути їх так, щоб отримати розбиття квадрата такої ж площі на попарно неперетинні підмножини?

Задачу сформулював 1925 року польсько-американський логік і математик Альфред Тарський.

Можливість такого розбиття довів угорський математик Міклош Лацкович 1990 року (через сім років після смерті Тарського). Доведення спирається на аксіому вибору. Знайдене розбиття складається з приблизно 10⁵⁰ частин, які є невимірними множинами і межі яких не є жордановими кривими. Для переміщення частин досить використовувати тільки паралельне перенесення, без поворотів і відбиттів. Крім того, Лацкович довів, що аналогічне перетворення можливе між кругом і будь-яким многокутником.

У 2005 році Тревор Вілсон довів, що існує необхідне розбиття, за якого частини можна пересувати паралельним перенесенням так, щоб вони весь час залишалися неперетинними.

• Парадокс Банаха — Тарського
• Квадратура круга

• Hertel, Eike; Richter, Christian (2003). Squaring the circle by dissection. Beiträge zur Algebra und Geometrie 44 (1): 47–55. MR 1990983.
• Laczkovich, Miklós (1990). Equidecomposability and discrepancy: a solution to Tarski's circle squaring problem. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 404: 77–117. MR 1037431. doi:10.1515/crll.1990.404.77.
• Laczkovich, Miklós (1994). Paradoxical decompositions: a survey of recent results. Proc. First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992). Progress in Mathematics 120. Basel: Birkhäuser. с. 159–184. MR 1341843.
• Tarski, Alfred (1925). Probléme 38. Fundamenta Mathematicae 7: 381.
• Wilson, Trevor M. (2005). A continuous movement version of the Banach–Tarski paradox: A solution to De Groot's problem. Journal of Symbolic Logic 70 (3): 946–952. MR 2155273. doi:10.2178/jsl/1122038921.