Квантовий граф

Метричний граф з трьома відкритими ребрами, реалізований на площині. Пунктирні лінії позначають метричну відстань між двома точками ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$.

Метричний граф — граф, що складається із множини вершин ${\displaystyle V}$ і множини ребер ${\displaystyle E}$, де кожному ребру ${\displaystyle e=(v_{1},v_{2})\in E}$ поставлено у відповідність інтервал ${\displaystyle [0,L_{e}]}$ так, що ${\displaystyle x_{e}}$ — координата на цьому інтервалі, вершини ${\displaystyle v_{1}}$ і ${\displaystyle v_{2}}$ відповідають ${\displaystyle x_{e}=0}$ і ${\displaystyle x_{e}=L_{e}}$, або навпаки. Вибір того, яка вершина відповідає нульовій координаті, довільний, і перепризначення вершин початку і кінця ребра вимагає тільки заміни координат ребра. Граф має природну метрику: для двох точок ${\displaystyle x,y}$ на графі, відстань ${\displaystyle \rho (x,y)}$ — довжина найкоротшого шляху між ними, де довжина шляху вимірюється як сума довжин ребер шляху.

Якщо в комбінаторному (класичному) графі ребро завжди з'єднує пару вершин, то в квантовому графі допускаються напівнескінченні ребра (промені), таким ребрах ставиться у відповідність інтервал ${\displaystyle [0,\infty )}$, де єдина вершина відповідає ${\displaystyle x_{e}=0}$. Граф, який має принаймні одне таке ребро, називають відкритим.

Квантовий граф — метричний граф із заданим диференціальним (або псевдодиференціальним) оператором, який діє на функціях на ребрах графу. Функція ${\displaystyle f}$ на метричному графі визначається як ${\displaystyle |E|}$ — кортеж функцій ${\displaystyle f_{e}(x_{e})}$ на інтервалах на ребрах.

Гільбертів простір графу — ${\displaystyle \bigoplus _{e\in E}L^{2}([0,L_{e}])}$, де внутрішній добуток двох функцій задано як

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\sum _{e\in E}\int _{0}^{L_{e}}{\overline {f_{e}(x_{e})}}g_{e}(x_{e})\,dx_{e},}$

${\displaystyle L_{e}}$ може бути нескінченним у випадку відкритих ребер. Найпростіший приклад оператора на метричному графі — оператор Лапласа. Оператор на ребрі — це ${\displaystyle -{\frac {{\textrm {d}}^{2}}{{\textrm {d}}x_{e}^{2}}}}$, де ${\displaystyle x_{e}}$ — координата ребра. Для забезпечення самоспряженості оператора необхідно підібрати підхожу область значень, зазвичай для цього вибирають простір Соболєва ${\displaystyle H^{2}}$ функцій на ребрах графу і відповідні граничні умови на вершинах.

Найпростіший приклад умов, що забезпечують самоспряженість — граничні умови Діріхле ${\displaystyle f_{e}(0)=f_{e}(L_{e})=0}$ для кожного ребра. Власні функції на кінцевих ребрах можна записати як:

${\displaystyle f_{e}(x_{e})=\sin \left({\frac {n\pi x_{e}}{L_{e}}}\right)}$

для цілого ${\displaystyle n}$. Якщо в графі немає відкритих ребер і довжини ребер непорівнянні над раціональними числами, то носій власної функції лежить на одному ребрі графу, і власні значення рівні ${\displaystyle {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L_{e}^{2}}}}$. Умови Діріхле не дозволяють враховувати взаємодію між інтервалами на ребрах, так що спектр такий самий, що й на множині незалежних (нез'єднаних) ребер.

Цікавішими самоспряженими граничними умовами, що дозволяють враховувати взаємодію між ребрами, є граничні умови Неймана або природні граничні умови. Функція ${\displaystyle f}$ в області визначення оператора неперервна всюди на графі і сума вихідних похідних у кожній вершині дорівнює нулю:

${\displaystyle \sum _{e\sim v}f'(v)=0}$,

де ${\displaystyle f'(v)=f'(0)}$, якщо вершина ${\displaystyle v}$ відповідає ${\displaystyle x=0}$, і ${\displaystyle f'(v)=-f'(L_{e})}$, якщо ${\displaystyle v}$ відповідає ${\displaystyle x=L_{e}}$.

Також вивчено властивості інших операторів на метричних графах, наприклад, загальніший клас операторів Шредінгера:

${\displaystyle \left(i{\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x_{e}}}+A_{e}(x_{e})\right)^{2}+V_{e}(x_{e})}$,

де ${\displaystyle A_{e}}$ — «магнітний векторний потенціал» на ребрі, ${\displaystyle V_{e}}$ — скалярний потенціал.

Іншим прикладом є оператор Дірака на графі, який є матричним оператором, що діє на вектор-функціях, які описують квантову механіку частинок із власним моментом імпульсу рівним ${\displaystyle 1/2}$ (наприклад, електрон). Оператор Діріхле — фон Неймана на графі — псевдодиференціальний оператор, який виникає під час вивчення фотонних кристалів.

Всі самоспряжені граничні умови оператори Лапласа на графі можна класифікувати за схемою Кострикіна і Шрадера. На практиці, часто зручніше використовувати запропонований Кучментом 2004 року формалізм[3], який дозволяє зразу отримати оператор у варіаційній формі.

Нехай ${\displaystyle v}$ це вершина з якої виходять ${\displaystyle d}$ ребер. Для зручності виберемо координати на ребрах так, щоб ${\displaystyle v}$ відповідала ${\displaystyle x_{e}=0}$ для кожного ребра ${\displaystyle v}$. Для функції ${\displaystyle f}$ на графі:

${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{e_{1}}(0),f_{e_{2}}(0),\dots ,f_{e_{d}}(0))^{T},\qquad \mathbf {f} '=(f'_{e_{1}}(0),f'_{e_{2}}(0),\dots ,f'_{e_{d}}(0))^{T}}$,

граничні умови на ${\displaystyle v}$ можна задати парою матриць ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ за допомогою матричного рівняння:

${\displaystyle A\mathbf {f} +B\mathbf {f} '=\mathbf {0} }$.

Граничні умови задають самоспряжений оператор, якщо ${\displaystyle (A,B)}$ має максимальний ранг ${\displaystyle d}$ і ${\displaystyle AB^{*}=BA^{*}}$.

Спектр оператора Лапласа на скінченному графі можна описати за допомогою матриці розсіювання[4][5].

Власні значення на ребрі задано:

${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dx_{e}^{2}}}f_{e}(x_{e})=k^{2}f_{e}(x_{e}).\,}$

Розв'язок на ребрі можна подати лінійною комбінацією плоских хвиль.

${\displaystyle f_{e}(x_{e})=c_{e}{\textrm {e}}^{ikx_{e}}+{\hat {c}}_{e}{\textrm {e}}^{-ikx_{e}}}$,

де в нестаціонарному рівнянні Шредінгера ${\displaystyle c}$ — коефіцієнт вихідної плоскої хвилі в ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle {\hat {c}}}$ — коефіцієнт вхідної плоскої хвилі в ${\displaystyle 0}$.

Граничні умови на ${\displaystyle v}$ визначають матрицю розсіювання:

${\displaystyle S(k)=-(A+ikB)^{-1}(A-ikB)}$

(1)

Матриця розсіювання встановлює відношення між векторами коефіцієнтів вхідних і вихідних плоских хвиль на ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle \mathbf {c} =S(k){\hat {\mathbf {c} }}}$. Для самоспряжених граничних умов матриця ${\displaystyle S}$ унітарна. Елемент ${\displaystyle \sigma _{(uv)(vw)}}$ матриці ${\displaystyle S}$ є комплексною амплітудою переходу з направленого ребра ${\displaystyle (uv)}$ на ребро ${\displaystyle (vw)}$, яке в загальному випадку залежить від ${\displaystyle k}$. Однак для великого класу граничних умов матриця ${\displaystyle S}$ незалежна від ${\displaystyle k}$. Наприклад, із граничними умовами Неймана

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{ccccc}1&-1&0&0&\dots \\0&1&-1&0&\dots \\&&\ddots &\ddots &\\0&\dots &0&1&-1\\0&\dots &0&0&0\\\end{array}}\right),\quad B=\left({\begin{array}{cccc}0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\dots &0\\1&1&\dots &1\\\end{array}}\right).}$,

підстановка ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ в рівняння (1) для ${\displaystyle S}$ дає незалежні від ${\displaystyle k}$ рівняння для амплітуд переходів

${\displaystyle \sigma _{(uv)(vw)}={\frac {2}{d}}-\delta _{uw}.\,}$

де ${\displaystyle \delta _{uw}}$ — дельта-функція Кронекера.

За рівняннями для амплітуд переходів можна задати ${\displaystyle 2|E|\times 2|E|}$ матрицю

${\displaystyle U_{(uv)(lm)}(k)=\delta _{vl}\sigma _{(uv)(vm)}(k){\textrm {e}}^{ikL_{(uv)}}.\,}$

Матрицю ${\displaystyle U}$ називають матрицею розсіювання на ребрах і її можна уявляти як оператор квантової еволюції на графі. ${\displaystyle U}$ — унітарний оператор і діє на векторі ${\displaystyle 2|E|}$ коефіцієнтів плоских хвиль для графу, де ${\displaystyle c_{(uv)}}$ — коефіцієнт плоскої хвилі перехідної з ${\displaystyle u}$ на ${\displaystyle v}$. Під час поширення плоскої хвилі від вершини ${\displaystyle u}$ до вершини ${\displaystyle v}$, вона отримує фазу, рівну ${\displaystyle {\textrm {e}}^{ikL_{(uv)}}}$.

Умова квантування: власну функцію на графі можна визначити через її ${\displaystyle 2|E|}$ відповідних коефіцієнтів плоских хвиль. Оскільки власна функція стаціонарна за квантової еволюції, умову квантування для графу можна описати за допомогою оператора еволюції

${\displaystyle |U(k)-I|=0.\,}$

Власні значення ${\displaystyle k_{j}}$ виникають за таких ${\displaystyle k}$, за яких матриця ${\displaystyle U(k)}$ має власне значення рівне одиниці. Упорядкуємо спектр ${\displaystyle 0\leqslant k_{0}\leqslant k_{1}\leqslant \dots }$.

Формула сліду встановлює зв'язок між спектром і періодичними орбітами графу. Першу формулу сліду для графу вивів Рот (1983). 1997 року Коттос і Сміланські використали умову квантування, наведену вище, щоб отримати таку формулу сліду для оператора Лапласа на графі, коли амплітуди переходів незалежні від ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle d(k):=\sum _{j=0}^{\infty }\delta (k-k_{j})={\frac {L}{\pi }}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{p}{\frac {L_{p}}{r_{p}}}A_{p}\cos(kL_{p}).}$

${\displaystyle d(k)}$ називається щільністю станів. Права частина формули складається з двох частин: гладка частина (частина Вейля) ${\displaystyle {\frac {L}{\pi }}}$ — середнє, що розділяє власні значення, і осциляційна частина — сума за всіма періодичними орбітами ${\displaystyle p=(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})}$ на графі. ${\displaystyle L_{p}=\sum _{e\in p}L_{e}}$ — довжина орбіти і ${\displaystyle L=\sum _{e\in E}L_{e}}$ — повна довжина графу. Для орбіти, породженої повторенням коротшої простої орбіти, ${\displaystyle r_{p}}$ рахує число перерозподілів. ${\displaystyle A_{p}=\sigma _{e_{1}e_{2}}\sigma _{e_{2}e_{3}}\dots \sigma _{e_{n}e_{1}}}$ добуток амплітуд переходів у вершинах графу на орбіті.

Молекула нафталіну

Квантові графи вперше використав Полінг для моделювання спектра вільних електронів у таких органічних молекулах як нафталін ще в 1930-х роках. У першому наближенні атоми моделюються вершинами, а ${\displaystyle \sigma }$- електрони — ребрами, які описують структуру молекули, до якої прив'язані електрони.

Подібна проблема виникає під час вивчення квантових хвилеводів, які є мезоскопічними системами — системами, розміри яких обчислюють у нанометрах. Квантовий хвилевід можна подати як потовщений граф, у якому ребра — тонкі трубки. Спектр оператора Лапласа на такому хвилеводі, за виконання певних умов, збігається до спектра оператора Лапласа на графі. Розуміння мезоскопічних систем відіграє важливу роль в галузі нанотехнологій.

1997 року[6] запропоновано використати квантові графи як моделі під час вивчення квантового хаосу. Класичний рух на графі можна визначити як імовірнісний ланцюг Маркова, де ймовірність розсіювання від ребра ${\displaystyle e}$ до ребра ${\displaystyle f}$ дорівнює абсолютній величині квадрата амплітуди квантового переходу ${\displaystyle |\sigma _{ef}|^{2}}$. Для майже всіх скінченних зв'язних квантових графів імовірнісна динаміка ергодична і є перемішувальною, іншими словами, вона хаотична.

Квантові графи, вкладені в 2- або 3-вимірний простір, виникають під час вивчення фотонних кристалів[7]. У двовимірному просторі проста модель фотонного кристала складається з багатокутних клітин щільного діелектрика з вузькими переходами між клітинами, заповненими повітрям. Вивчення основних станів діелектриків приводить до псевдодиференціальних операторів на графі, який відповідає вузьким переходам.

Періодичні квантові графи, такі як, наприклад, ґратка в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, використовують як моделі для періодичних систем^{[уточнити]}. Також квантові графи використано для вивчення явища локалізації Андерсона, де, за наявності невпорядкованості, на ребрах спектральних смуг виникають локалізовані стани.

• Analysis on graphs and its applications: Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge, UK, January 8-June 29, 2007. — Providence, R.I. : American Mathematical Society, 2008. — xiii, 705 pages с. — ISBN 978-0-8218-4471-7, 0-8218-4471-7.
• Jens Bolte and Sebastian Endres Trace formulae for quantum graphs, стор. 247
• J. M. Harrison Quantum graphs with spin Hamiltonians, стор. 261
• J. P. Keating Quantum graphs and quantum chaos, стор. 279
• Peter Kuchment Quantum graphs: an introduction and a brief survey, стор. 291
• Freedman, Michael; Lovász, László; Schrijver, Alexander (2007). Reflection positivity, rank connectivity, and homomorphism of graphs. Journal of the American Mathematical Society 20 (01): 37–52. ISSN 08940347. MR 2257396. arXiv:math/0404468. doi:10.1090/S0894-0347-06-00529-7.