Регулярний простір

Регулярний простір і простір топологічні простори, що характеризуються виконанням досить сильних аксіом віддільності.

Означення

Топологічний простір простір називається регулярним простором, якщо він задовольняє умову віддільності точок від замкнутих множин, тобто для кожної замкнутої множини і точки існують відкриті множини що не перетинаються і і

Точка x і замкнута множина F відокремлюються за допомогою околів U і V, що зображені великими кругами, які не перетинаються.

Також у цьому випадку кажуть, що точка і замкнута множина розрізняються за допомогою відкритих множин .

Топологічний простір називається гаусдорфовим регулярним простором або простором тоді і тільки тоді, коли є регулярним простором і також гаусдорфовим простором.

Еквівалентно регулярний простір є простором якщо він є задовольняє аксіому Дійсно кожен простір Гаусдорфа є простором Навпаки регулярний простір є гаусдорфовим. Це випливає з того, що для таких просторів із двох різних точок, хоча б одна не залежить замиканню іншої (наслідок аксіоми ) і з регулярності випливає, що існують відкриті множини, що не перетинаються і відокремлюють вказані точку і замикання іншої. Ці ж множини задовольняють умову в означення просторів Гаусдорфа.

В літературі немає однозначності щодо використання термінів. Іноді регулярним простором можуть називати простір, що також є гаусдорфовим, також простором можуть називати як регулярний (не обов'язково гаусдорфів), так і гаусдорфів регулярний простір.

Топологічний простір у якому кожна точка має відкритий окіл, що є регулярним простором називається локально регулярним простором.

Приклади

  • Більшість типових прикладів у математичному аналізі є просторами Серед таких прикладів зокрема: простір дійсних чисел із стандартною топологією, евклідові простори, метричні і метризовні простори. Псевдометричні простори є регулярними але можуть не бути гаусдорфовими.
  • Довільна множина із антидискретною топологією є гаусдорфовим регулярним простором.
  • Компактні і локально компактні гаусдорфові простори є регулярними.
  • Кожен цілком регулярний простір є регулярним але існують регулярні простори, які не є цілком регулярними. Наприклад розглянемо підмножину двовимірної площини. На множині введемо топологію за допомогою бази околів для точок
    • якщо то
    • якщо то складається із всіх множин виду де є скінченною множиною,
    • де
Тоді є регулярним але не цілком регулярним простором.
  • Існують простори які не є просторами Розглянемо наприклад множину з топологією отриманою доповненням звичайної топології на множиною Тоді є гаусдорфовим простором оскільки із звичайною топологією є гаусдорфовим, а топологічний простір із сильнішою топологією є гаусдорфовим, якщо таким є простір із слабшою топологією. Натомість не є регулярним простором. Справді, є замкнутою множииною (оскільки за побудовою, її доповнення є відкритою множиною) і її не можна відділити від точки за допомогою відкритих множин, що не перетинаються.
  • Іншим прикладом гаусдорфового простору, що не є простором є простір із топологією ірраціонального схилу. Цей простір також є прикладом напіврегулярного простору, що не є регулярним.
  • Натомість простір із топологією є регулярним але не гаусдорфовим.

Властивості

  • Топологічний простір є регулярним тоді і тільки тоді, коли виконується якась із еквівалентних умов:
  1. Для кожної компактної множини і замкнутої множини перетин яких є порожньою множиною існують відкриті множини що не перетинаються між собою і для яких і
  2. для кожної точки і його відкритого околу (тобто ) існує окіл точки замикання якого є підмножиною (тобто ).
  3. Кожна замкнута множина є рівною перетину усіх своїх замкнутих околів (окіл має містити відкриту множину, що містить , тому не є своїм околом).
  4. Для кожної множини і відкритої множини перетин яких є непорожнім існує відкрита множина для якої і
  5. Для кожної непорожньої множини і замкнутої множини перетин яких є порожньою множиною існують відкриті множини для яких і
  6. Кожна база топології є регулярною, тобто для кожної множини із бази і точки існує відкрита множина для якої
  • Кожен регулярний топологічний простір який є зліченним або задовольняє другу аксіому зліченності є нормальним простором.
  • Підмножина регулярного простору (чи простору ) із індукованою топологією є регулярним простором (простором ).
  • Прямий добуток регулярних просторів (чи просторів ) із топологією добутку є регулярним простором (простором ).

Див. також

Література

  • Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
  • Gaal, Steven A.(2009), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.