Компактно породжений простір

У топології гаусдорфів топологічний простір називається компактно породженим (також $k$ - простором) якщо у ньому множина є замкнутою, тоді і тільки тоді коли її перетин із кожною компактною підмножиною цього простору є замкнутою підмножиною. Означення для негаусдорфових просторів загалом можуть відрізнятися у літературі і терміни компактно породжений простір і k-можуть використовуватися для деяких різних просторів.

Категорія компактно породжених просторів активно використовується у випадках коли властивості звичайної категорії топологічних просторів не є задовільними для конкретної ситуації. Зокрема категорія топологічних просторів не є декартово замкнутою, добуток відображень на фактор-простори може не бути відображенням на фактор-простір, а добуток CW-комплексів може не бути CW-комплексом.

Означення

Існують кілька різних загалом нееквівалентних означень компактно породжених просторів. Тут наведено найпоширеніші.

Означення 1

Топологічний простір $X$ називають компактно породженим простором, якщо його топологія узгоджується з сім'єю всіх його компактних підпросторів, тобто якщо в ньому для усіх підмножин $A\subset X$ виконуються еквівалентні умови:

Множина $A$ є замкнутою в $X$ тоді і тільки тоді, коли будь-який її перетин $A\cap K$ із довільною компактною множиною $K\subset X$ є замкнутим у $K$ .
Множина $A$ є відкритою в $X$ тоді і тільки тоді, коли будь-який її перетин $A\cap K$ із довільною компактною множиною $K\subset X$ є відкритим у $K$ .
Множина $A$ є відкритою (замкнутою) в $X$ тоді і тільки тоді, коли для будь-якого компактного простору $K$ і довільного неперервного відображення $f:K\to X$ прообраз $f^{-1}(A)$ є відкритим (замкнутим) у $K$ .

Із цим означенням очевидно, що компактний простір $X$ є компактно породженим адже множина $A$ є рівною $A\cap X$ і оскільки її перетин з усіма компактними підмножинами є замкнутим у цих підмножинах, то і $A=A\cap X$ є замкнутою підмножиною $A$ .

Часто під компактно породженим простором розуміють тільки гаусдорфові простори, що задовольняють вказані умови.

Для гаусдорфових просторів можна дати ще одне еквівалентне означення компактно породженого простору: гаусдорфів простір $X$ є компактно породженим простором, в тому і тільки в тому випадку, якщо він є гомеоморфним фактор-простору деякого локально компактного гаусдорфового простору.

Означення 2

Іншим популярним варіантом означення є:

Множина $A$ є відкритою (замкнутою) в $X$ тоді і тільки тоді, коли для будь-якого гаусдорфового компактного простору $K$ і довільного неперервного відображення $f:K\to X$ прообраз $f^{-1}(A)$ є відкритим (замкнутим) у $K$ .

Від попереднього означення цей варіант відрізняється вимогою гаусдорфовості компактних просторів $K$ .

Приклад нееквівалентності означень

Для гаусдорфових просторів два означення є еквівалентними. У загальному випадку простір, що задовольняє друге означення також задовольняє перше. Справді якщо для другого означення $f^{-1}(A)$ є замкнутою підмножиною для всіх гаусдорфових компактних просторів $K$ і довільних неперервних відображень $f:K\to X$ то $A$ є замкнутою і прообраз $f^{-1}(A)$ є замкнутим для відображень із усіх просторів, зокрема усіх компактних просторів, тобто задовольняються умови першого означення.

Натомість компактний негаусдорфовий простір $\mathbb {Q} ^{*}\times \mathbb {Q} ^{*}$ (добуток одноточкових компактифікацій простору раціональних чисел із топологією індукованою стандартною топологією дійсних чисел) є компактним, а тому задовольняє перше означення але не друге.

Дійсно, як показано у статтях Слабкий гаусдорфів простір і Одноточкова компактифікація цей простір є слабким гаусдорфовим але не є KC-простором (тобто простором у якому всі компактні підмножини є замкнутими). Але у слабкому гаусдорфовому просторі кожна компактна підмножина $C$ є $k$ -замкнутою, тобто для будь-якого гаусдорфового компактного простору $K$ і довільного неперервного відображення $f:K\to X$ її прообраз $f^{-1}(C)$ є замкнутою множиною.

Справді нехай $K$ є компактним гаусдорфовим простором і $f:K\to X$ — неперервним відображенням. Оскільки $X$ є слабким гаусдорфовим, то множина $f(K)$ є замкненою у $X$ . Множина $f(K)\cap C$ є компактною як замкнута підмножина компактної множини $C$ . Із властивостей слабких гаусдорфових просторів також випливає, що $f(K)$ є гаусдорфовим підпростором. Тому $f(K)\cap C$ також є замкненою підмножиною в $f(K)$ , а тому також у $X$ . Оскільки $f$ є неперервним відображенням то $f^{-1}(C)=C^{-1}(C\cap f(K))$ є замкнутою підмножиною у $K$ .

Наприклад діагональ простору $\mathbb {Q} ^{*}\times \mathbb {Q} ^{*}$ не є замкнутою але вона є компактною і тому її прообраз при будь-якому неперервному відображенні із гаусдорфового компактного простору $K$ є замкнутою підмножиною у $K$ . Звідси випливає також, що компактні простори можуть не бути компактно породженими у другому означенні.

Компактно породжене поповнення топології

Для довільного топологічного простору X можна ввести топологію на X, яка є компактно породженою і містить початкову топологію. Нехай {K_α} позначає сім'ю компактних підмножин у X. У новій топології на X підмножина A буде замкненою якщо і тільки якщо A ∩ K_α є замкненою у K_α для всіх α. Нехай простір із новою топологією позначається X_c. Тоді компактними підмножинами у X_c є компактні підмножини із X і успадковані топології на всіх компактних підмножинах для двох топологій є однаковими. Зокрема X_c є компактно породженим простором (для першого означення). Якщо сам простір X є компактно породженим то X_c = X, в іншому випадку топологія X_c є строго більшою, ніж X.

Аналогічно можна ввести поповнення топології X_h_c для якого підмножина A буде замкнутою якщо і тільки якщо для будь-якого гаусдорфового компактного простору $K$ і довільного неперервного відображення $f:K\to X$ прообраз $f^{-1}(A)$ є замкнутим у $K$ . Знову ж компактними підмножинами у X_h_c є компактні підмножини із X і успадковані топології на всіх компактних підмножинах для двох топологій є однаковими. Зокрема X_hc є компактно породженим простором (для другого означення). Якщо сам простір X є компактно породженим то X_hc = X, в іншому випадку топологія X_hc є строго більшою, ніж X.

Загалом топологія X_hc може бути більшою за топологію X_c, для гаусдорфових просторів вони є однаковими.

Відображення у компактно породжених просторах

Відображення $f\colon X\to Y$ компактно породженого простору $X$ у довільний топологічний простір $Y$ є неперервним в тому і тільки в тому випадку, якщо будь-яке звуження цього відображення $f|_{K}$ на довільну компактну множину $K$ є неперервним.

Неперервне відображення $f\colon X\to Y$ довільного топологічного простір $X$ у компактно породжений простір $Y$ є замкнутим (відкритим, відображенням на фактор-простір) в тому і тільки в тому випадку, якщо для кожної компактної підмножини $K$ з області значень $Y$ звуження цього відображення $f_{K}\colon f^{-1}(K)\to K$ є замкнутим (відповідно відкритим, відображенням на фактор-простір).

Якщо відображення $f_{1}\colon X_{1}\to Y_{1}$ і $f_{2}\colon X_{2}\to Y_{2}$ є відображеннями на фактор-простір і $X_{1}$ і $X_{2}$ , а також добуток просторів $Y_{1}\times Y_{2}$ є компактно породженими просторами, то декартовій добуток цих відображень $f_{1}\times f_{2}\colon X_{1}\times X_{2}\to Y_{1}\times Y_{2}$ є відображеннями на фактор-простір.
Якщо $f\colon X\to Y$ є неперервним відображенням між топологічними просторами, то відображення $f\colon X_{c}\to Y_{c}$ і $f\colon X_{hc}\to Y_{hc}$ між тими ж просторами із відповідними компактно породженими топологіями, теж будуть неперервними.

Стабільність при операціях

Кожен відкритий чи замкнути підпростір гаусдорфового компактно породженого простору є компактно породженим простором. Однак довільний підпростір гаусдорфового компактно породженого простору може не бути компактно породженим простором.

Сума сім'ї топологічних просторів є компактно породженим простором тоді і тільки тоді, коли всі простори із цієї сім'ї є компактно породженими просторами.

Добуток гаусдорфового компактно породженого простору і локально компактного гаусдорфового простору є компактно породженим простором. При цьому добуток двох компактно породжених просторів у загальному випадку не є компактно породженим простором. Тому у категорії компактно породжених просторів добуток просторів вводять як (X × Y)_c.

Гаусдорфів образ гаусдорфового компактно породженого простору при відображенні на фактор-простір (зокрема, при відкритому або замкнутому відображенні) є компактно породженим простором. При цьому образ гаусдорфового компактно породженого простору при довільному неперервному відображенні може не бути компактно породженим простором, навіть якщо він є цілком нормальним.

Зв'язок з іншими класами просторів

Будь-який повний зі Чехом простір (зокрема будь-який локально компактний гаусдорфів простір, а отже і будь-який топологічний многовид) є компактно породженими просторами.

Кожен секвенційний простір (зокрема будь-який простір з першою аксіомою зліченності, а отже і будь-який метричний простір) є компактно породженими просторами.

Будь-який простір точково зліченного типу є компактно породженим простором.

Кожен CW-комплекс є компактно породженим простором.

Література

Энгелькинг, Р. Общая топология. — Москва : Мир, 1986. — 752 с.
Келли, Дж. Л. Общая топология. — Москва : Наука, 1968.
Спеньер, Э. Алгебраическая топология. — Москва : Мир, 1971. — 680 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.