Майже комплексна структура

Майже комплексною структурою на многовиді ${\displaystyle M}$ називається відображення ${\displaystyle J\colon TM\to TM}$ дотичних просторів на многовиді ${\displaystyle M}$, для якого обмеження ${\displaystyle J_{p}:=J|_{T_{p}M}}$ на дотичний простір в точці ${\displaystyle p\in M}$ є лінійним відображенням, що задовольняє умові: ${\displaystyle J_{p}\circ J_{p}=-\mathrm {id} }$ і також ${\displaystyle J}$ є гладким тензорним полем порядку (1, 1).

• Наявність на многовиді майже комплексної структури накладає деякі обмеження на його топологію — розмірність простору має бути парним числом, простір має бути орієнтовним, а в компактному випадку всі його непарні класи Штіфеля — Вітні повинні бути рівні нулю.
• Майже комплексна структура ${\displaystyle J}$ визначає розклад комплексифікації ${\displaystyle T^{\mathbb {C} }M}$ дотичного розшарування в пряму суму комплексно спряжених один одному підрозшарувань ${\displaystyle E^{+}}$ і ${\displaystyle E^{-}}$, що складаються з власних векторів відображення ${\displaystyle J}$ (продовженого лінійно на ${\displaystyle T^{\mathbb {C} }M}$) з власними значеннями ${\displaystyle i}$ і ${\displaystyle -i}$ відповідно. Навпаки, розклад ${\displaystyle T^{\mathbb {C} }M}$ в пряму суму двох взаємно спряжених векторних підрозшарувань ${\displaystyle S,{\bar {S}}}$ визначає майже комплексну структуру на ${\displaystyle M}$ для якої ${\displaystyle V^{+}=S}$.

Будь-який комплексний многовид також є майже комплексним многовидом. В локальних голоморфних координатах ${\displaystyle z^{\mu }=x^{\mu }+iy^{\mu }}$ можна ввести відображення

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}={\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}=-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}$

або в інших позначеннях

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}=i{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}=-i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}.}$

Дані відображення є майже комплексною структурою, яка називається індукованою відповідною комплексною структурою многовида.

Майже комплексна структура ${\displaystyle J}$ називається інтегровною, якщо вона індукується деякою комплексною структурою на ${\displaystyle M}$, тобто якщо існує атлас карт многовида ${\displaystyle M}$, відображення переходу для яких є голоморфними і на кожній з яких матриці лінійних відображень ${\displaystyle J_{p}}$ має сталі координати ${\displaystyle J_{jk}}$. Можна вважати, що лінійні перетворення мають канонічний вид поданий вище.

Необхідною і достатньою умовою інтегрованості майже комплексної структури є інволютивність підрозшарування ${\displaystyle V^{+}}$, тобто замкнутість простору його перетинів щодо дужок Лі (комплексних) векторних полів. Умова інволютивності підрозшарування ${\displaystyle V^{+}}$ є рівносильною рівності нулю асоційованої з ${\displaystyle J}$ векторнозначної 2-форми ${\displaystyle N_{J}(X,Y)}$, що задається формулою

${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J([JX,Y]+[X,JY])-[JX,JY],\,}$

де X, Y — векторні поля. Ця форма називається тензором кручень, або тензором Нейєнхейса майже комплексної структури. Твердження про рівносильність інтегровності майже комплексної структури і рівності нулю асоційованого з нею тензора Нейєнхейса називається теоремою Ньюландера — Ніренберга.

З точки зору теорії G-структур майже комплексна структура є ${\displaystyle GL(m,\mathbb {C} )}$-структурою, де ${\displaystyle m={\frac {\operatorname {dim} M}{2}}}$, а тензором Нейєнхейса ${\displaystyle N_{J}(X,Y)}$ — тензор, який визначається першою структурною функцією цієї структури. ${\displaystyle GL(m,\mathbb {C} )}$-структура є структурою еліптичного типу, і тому алгебра Лі інфінітезімальних автоморфізмів майже комплексної структури задовольняє еліптичній системі диференціальних рівнянь 2-го порядку. Зокрема, алгебра Лі інфінітезімальних автоморфізмів майже комплексної структури на компактному многовиді є скінченновимірною, а група G всіх автоморфізмів компактного многовида з майже комплексною структурою є групою Лі. Для некомпактних многовидів це, взагалі кажучи, не так.

Якщо група автоморфізмів G є транзитивною на многовиді М, то майже комплексна структура ${\displaystyle J}$ однозначно визначається своїм значенням ${\displaystyle J_{p}}$ у фіксованій точці ${\displaystyle p\in M}$, що є інваріантною щодо представлення ізотропії комплексною структурою в дотичному просторі ${\displaystyle T_{p}M}$.

Методи теорії груп Лі дозволяють побудувати широкий клас однорідних просторів, що володіють інваріантною майже комплексною структурою (Як інтегровною, так і неінтегровною) і при тих чи інших припущеннях класифікувати інваріантні майже комплексні структури. Наприклад, будь-яка факторгрупа G/H групи Лі G по підгрупі H, що складається з нерухомих точок автоморфізму непарного порядку групи Лі G, має інваріантну майже комплексну структуру. Прикладом є 6-вимірна сфера ${\displaystyle S^{6}}$, що розглядається як однорідний простір ${\displaystyle G_{2}/\mathrm {SU} (3)}$.

Натомість на ${\displaystyle S^{6}}$немає жодної комплексної структури, тобто жодна майже комплексна структура там не є інтегровною.

Серед сфер майже комплексні структури мають тільки сфери розмірностей 2 і 6.

• Диференційовний многовид
• Комплексний многовид

• Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 213). Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95395-7.
• Newlander, A.; Nirenberg, L. (1957). Complex analytic coordinates in almost complex manifolds. Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series 65 (3): 391–404. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970051. MR 0088770. doi:10.2307/1970051.
• da Silva, A.C., Lectures on Symplectic Geometry, Springer (2001). ISBN 3-540-42195-5.
• Wells, R.O., Differential Analysis on Complex Manifolds, Springer-Verlag, New York (1980). ISBN 0-387-90419-0.