Опукла поверхня

Найпростіший приклад опуклого тіла — куля радіуса R евклідову простору ${\displaystyle E^{n}}$, задана рівнянням ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\leqslant R^{2}}$. Відповідно, сфера ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=R^{2}}$ — повна опукла поверхня.

З поверхні сфери можна отримати опуклу поверхню необмежено великого діаметра наступним чином. Достатньо уявити ніби зрізають з кулі яблука ножем шкуринку — це і буде шукана опукла поверхня, яка може бути скільки завгодно довгою.

Опуклі тіла евклідову простору ${\displaystyle E^{3}}$ можуть бути тільки п'яти топологічно різних типів:[2]

1. кінцеві опуклі тіла, гомеоморфні кулі;
2. нескінченні опуклі тіла, гомеоморфні півпростору;
3. циліндри, гомеоморфні безкінечного круговому циліндру;
4. шари між паралельними площинами;
5. весь простір.

Тим самим повні опуклі поверхні евклідову простору ${\displaystyle E^{3}}$ можуть бути трьох типів:

1. замкнуті поверхні, гомеоморфні сфері;
2. нескінченні поверхні, гомеоморфні площині;
3. циліндричні поверхні, гомеоморфні поверхні нескінченного кругового циліндра.

Кількість топологічно різних типів повних опуклих поверхонь у просторі Лобачевського не скінченна, як в евклідовому просторі, а нескінченна:

Опукла поверхня в просторі Лобачевського гомеоморфна області на сфері, і для всякої області на сфері існує гомеоморфна їй повна опукла поверхня в просторі Лобачевського.[3]

Поверхню F називають локально опуклою в точці ${\displaystyle x\in F}$, якщо існує такий окіл U точки x, що ${\displaystyle F\cap U}$ — опукла поверхня.

Для опуклості зв'язної замкненої множини F в ${\displaystyle R^{n}}$ необхідно і достатньо локальної опуклості F у всіх точках.[4]

Якщо в (n+1)-вимірний евклідів простір занурено повний в індукованій метриці n-вимірний локально опуклий, суворо опуклий в деякій точці різновид M розмірності ${\displaystyle n\geqslant 2,}$ тоді M вкладено як межу опуклого тіла і або M — компакт, який обмежує опукле тіло і гомеоморфний сфері ${\displaystyle S^{n}}$, або M гомеоморфний ${\displaystyle R^{n}}$.[5]

Нехай в (n+1)-вимірний простір Лобачевського занурено повний в індукованій метриці n-вимірний локально опуклий, локально опорний на орисфери різновид M розмірності ${\displaystyle n\geqslant 2,}$ тоді M вкладено як межу опуклого тіла і або M — компакт, який обмежує опукле тіло і гомеоморфний сфері ${\displaystyle S^{n}}$, або M — орисфера.[6]

• Локально опуклий простір