Розподіл Накаґамі

Щільність розподілу обчислюється за формулою:[1]

${\displaystyle f(x;\,m,\Omega )={\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\Omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)}$ ${\displaystyle \quad \forall x\geq 0~~(m\geq 1/2,{\text{ and }}\Omega >0),}$

де ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — гамма-функція.

Відповідна функція розподілу ймовірностей має вигляд:

${\displaystyle F(x;\,m,\Omega )=P\left(m,{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)}$

де ${\displaystyle P}$ — неповна гамма-функція.

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини з розподілом Накаґамі виражається як:

${\displaystyle mu(X)={\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\left({\frac {\Omega }{m}}\right)^{1/2}}$

і

${\displaystyle {\textrm {var}}(X)=\Omega \left(1-{\frac {1}{m}}\left({\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\right)^{2}\right)}$

Параметри ${\displaystyle m}$ та ${\displaystyle \Omega }$ оцінюються наступним образом:[2]

${\displaystyle m={\frac {\operatorname {E} ^{2}\left[X^{2}\right]}{\operatorname {Var} \left[X^{2}\right]}},}$

та

${\displaystyle \Omega =\operatorname {E} \left[X^{2}\right].}$

• Розподіл Рейлі