Рівносторонній багатокутник

Рівносторонній багатокутник, який також і рівнокутний є правильним багатокутником.

Рівносторонній багатокутник, уписаний в коло (його вершини лежать на колі) є правильним багатокутником (тобто багатокутником, одночасно і рівностороннім, і рівнокутним).

Описаний багатокутник (у якого існує коло, що дотикається всіх його сторін) є рівностороннім в тому і тільки в тому випадку, коли кути через один рівні (тобто, при послідовній нумерації кутів кути з номерами 1, 3, 5, … рівні і кути 2, 4, … рівні). Таким чином, якщо ${\displaystyle n}$ — непарне, описаний багатокутник є рівностороннім тоді й лише тоді, коли він правильний[1].

Всі рівносторонні чотирикутники опуклі, але існують вгнуті рівносторонні п'ятикутники, як і опуклі рівносторонні багатокутники з більшим числом сторін.

Кожна головна діагональ шестикутника ділить його на чотирикутники. В будь-якому опуклому рівносторонньому шестикутнику із спільною стороною ${\displaystyle a}$ існує[2] головна діагональ ${\displaystyle d_{1}}$, така що:

${\displaystyle {\frac {d_{1}}{a}}\leqslant 2}$,

і головна діагональ ${\displaystyle d_{2}}$, така, що:

${\displaystyle {\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}}$.

Існує скінченна послідовність елементарних відбиттів, які переводять будь-який рівносторонній багатокутник у правильний[3][4].

Теорема Вівіані в частині сталості суми відстаней від довільної внутрішньої точки до кожної із сторін узагальнюється для рівносторонніх багатокутників[5]. Дійсно, якщо подати сторони багатокутника у вигляді векторів ${\displaystyle (a_{i},b_{i})}$, при тому вибравши напрямки так, щоб кінець одного вектора був початком іншого, то сума цих векторів дорівнює нулю, а отже:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=0}$, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{i}=0}$.

Без применшення загальності можна вважати, що всі довжини векторів дорівнюють 1. Повернувши всі вектори на 90° в одному напрямку, отримаємо вектори ${\displaystyle (-b_{i},a_{i})}$, і всі вони будуть нормалями до сторін. Рівняння прямої, що проходить через сторону ${\displaystyle i}$ буде задаватися рівнянням ${\displaystyle -b_{i}x+a_{i}y+c_{i}=0}$. Оскільки довжина вектора дорівнює одиниці, відстань до прямої від будь-якої точки ${\displaystyle (x,y)}$ площини дорівнює ${\displaystyle -b_{i}x+a_{i}y+c_{i}}$ (відстань може бути від'ємною — залежить від того, в якій півплощині лежить точка), а сума відстаней дорівнює ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(-b_{i}x+a_{i}y+c_{i})=-x\sum _{i=1}^{n}b_{i}+y\sum _{i=1}^{n}a_{i}+\sum _{i=1}^{n}c_{i}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}}$, тобто, не залежить від положення точки.

• Якщо ${\displaystyle n}$ непарне, то правильний ${\displaystyle n}$-кутник одиничного діаметра дає найбільшу можливу площу і периметр[6].
• Правильний ${\displaystyle n}$-кутник є єдиним розв'язком задачі знаходження найбільшої площі фігури одиничного діаметра, якщо ${\displaystyle n}$ непарне, але в задачі знаходження найбільшого периметра за непарного ${\displaystyle n}$ розв'язок єдиний тільки для простих ${\displaystyle n}$.
• Якщо ${\displaystyle n}$ парне і ${\displaystyle n\geqslant 6}$, то правильний ${\displaystyle n}$-кутник одиничного діаметра не дає ні найбільшої площі, ні найбільшого периметра.
• Якщо ${\displaystyle n}$ має непарний дільник, то будь-який багатокутник з найбільшим периметром є рівностороннім.

• Рівносторонній п'ятикутник

• Equilateral triangle з інтерактивною анімацією
• A Property of Equiangular Polygons: What Is About It? обговорення теореми Вівіані на Cut the knot.