Суперлогарифм

У математиці суперлогарифм (або тетралогарифм[1]) є однією з двох зворотних функцій тетрації. Так само, як піднесення до степеня має дві протилежні функції — корінь і логарифм, тетрація також має дві протилежні функції — суперкорінь і суперлогарифм. Існують кілька способів інтерпретації суперлогарифму:

як функцію Абеля експоненційної функції,
як зворотню функцію піднесення до степеня відносно висоти,
як кількість разів, що необхідно проітерувати логарифм, щоб отримати одиницю (повторний логарифм),
як узагальнення системи класу великих чисел Роберта Мунафо[2]

Точне визначення суперлогарифма залежить від точного визначення нецілої тетрації (тобто ${^{y}x},\forall y\notin \mathbb {Z}$ ). Немає чіткого консенсусу щодо визначення нецілочисельної тетрації, а тому не існує чіткого консенсусу і суперлогарифму для чисел з області значень нецілих чисел.

Визначення

Суперлогарифм $\mathrm {slog} _{b}(z)$ неявно визначається як $\mathrm {slog} _{b}(b^{z})=\mathrm {slog} _{b}(z)+1$ та $\mathrm {slog} _{b}(1)=0$ .

Варто зазначити, що дане визначення може мати тільки цілочисловий результат, і прийматиме лише значення, які повертають цілі числа. Числа, які прийматиме дане визначення, мають вигляд $b,b^{b},b^{b^{b}}$ і так далі. Існують кілька способів розширення області визначення суперлогарифму з даного рідкісного набору до дійсних чисел. Вони, як правило, містять третю вимогу на додачу до вищенаведених, яка змінюється від автора до автора. Такими способами є:

лінійне наближення Рубстова і Ромеріо,
квадратичне наближення Ендрю Роббінса,
регулярна функція Абеля Джорджа Сзекерса,
ітераційний функціональний підхід Пітера Вокера,
природний матричний підхід Пітера Вокера, пізніше узагальнений Ендрю Роббінсом.

Наближення

Як правило, спеціальні функції визначені не тільки для дійсних значень аргументів, а й на комплексній площині, диференціальному та / або інтегральному поданні, а також розкладання у збіжні й асимптотичні ряди. Та все ж, жодні з таких представлень не доступні для функції суперлогарифму. Попри це, було запропоновано деякі прості наближення.

Лінійне наближення

Лінійне наближення до суперлогарифму

$\mathrm {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\mathrm {slog} _{b}(b^{z})-1&z\leq 0\\-1+z&0<z\leq 1\\\mathrm {slog} _{b}(\log _{b}(z))+1&1<z\\\end{cases}}$

є частково-визначеною функцією з лінійною «критичною частиною». Ця функція має властивість неперервності при $\forall z\in \mathbb {R}$ (неперервність $C^{0}$ ). Першими авторами, які визнали таке наближення, були Рубстов і Ромеріо. З іншого боку, лінійне наближення до тетрації було відомо раніше, наприклад, Іоаннісу Галідакісу. Це природна протилежність лінійного наближення до тетрації.

Деякі автори, серед яких Холмс, визнають, що суперлогарифм широко використовуватиметься в наступній еволюції комп'ютерної арифметики з рухомою комою, але для цього функція не повинна бути нескінченно диференційовною. Таким чином, з метою подання великих чисел, підхід лінійного наближення забезпечує достатню неперервність ( $C^{0}$ ), аби гарантувати можливість подання будь-якого дійсного числа як суперлогарифму.

Квадратичне наближення

Квадратичне наближення до супер-логарифму

$\mathrm {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\mathrm {slog} _{b}(b^{z})-1&z\leq 0\\-1+{\frac {2\log(b)}{1+\log(b)}}z+{\frac {1-\log(b)}{1+\log(b)}}z^{2}&0<z\leq 1\\\mathrm {slog} _{b}(\log _{b}(z))+1&1<z\end{cases}}$

є частково-визначеною функцією з квадратичною «критичною частиною». Дана функція має властивості неперервності та диференційовності для $\forall z\in \mathbb {R}$ (неперервність $C^{1}$ ). Першим автором, який опублікував таке наближення, був Ендрю Роббінс[3].

Така версія суперлогарифму дозволяє виконання основних операцій обчислення над ним, не вимагаючи великої кількості попередніх рішень. З використанням цього методу основне дослідження властивостей суперлогарифму та тетрації може бути виконано з невеликою кількістю обчислювальних накладних витрат.

Підходи до функції Абеля

Функцією Абеля називається будь-яка функція, що задовольняє функціональному рівнянню Абеля $A_{f}(f(x))=A_{f}(x)+1$ .

Інше рішення даної функції Абеля $A_{f}(x)$ може бути отримане шляхом додавання будь-якої константи $A'_{f}(x)=A_{f}(x)+c$ . Отже, з урахуванням того, що суперлогарифм визначається як $\mathrm {slog} _{b}(1)=0$ і має третю особливу властивість, яка залежить від підходу, функція Абеля степеневої функції може бути однозначно визначеною.

Властивості

Іншими рівняннями, яким задовольняє суперлогарифм, є:

$\mathrm {slog} _{b}(z)=\mathrm {slog} _{b}(\log _{b}(z))+1$
$\mathrm {slog} _{b}(z)>-2,\forall z\in {R}$

Ймовірно, перший приклад математичної задачі, рішення якої виражене в термінах суперлогарифмів, може бути таким: Розглянемо орієнтований граф з N вершин і такий, в якому орієнтований шлях із вершини i до вершини j існує тоді й тільки тоді, коли $i>j$ . Якщо довжина всіх таких шляхів не перевищує k ребер, то найменша кількість ребер дорівнює:

$\theta (N^{2}),k=1$
$\theta (N\log N),k=2$
$\theta (N\log \log N),k=3$
$\theta (N\mathrm {slog} N),k\in [4;5]$
Випадки при $k>5$ вимагають супер-супер-логарифм, супер-супер-супер-логарифм і так далі[4].

Суперлогарифм як зворотна тетрація

f={\rm {slog}}_{\rm {e}}(z)

у комплексній площині z

Так як тетрація (або суперекспонента) ${\rm {sexp}}_{b}(z)$ розглядається як аналітична функція[5] принаймні для деяких значень b, то обернена функція ${\rm {slog}}_{b}={\rm {sexp}}_{b}^{-1}$ також може бути аналітичною. Поведінку ${\rm {slog}}_{b}(z),$ визначену таким чином, для випадку $b=e$ зображено на зображенні на комплексній z-площині. Рівні цілих значень дійсних та уявних частин функції суперлогарифма зображено товстими лініями. Якщо існування й унікальність аналітичного продовження тетрації забезпечуються умовою її асимптотичного наближення до нерухомих точок $L\approx 0,318+1,337i$ та $L^{*}\approx 0,318-1,337i$ лінії $L=\ln(L)$ [6] у верхній і нижній частинах комплексної площини, то обернена функція також повинна бути унікальною. Така функція є дійсною на дійсній осі. Вона має дві точки розгалуження в $z=L$ та $z=L^{*}$ . Вона наближається до свого граничного значення —2 в околі від'ємної частини дійсної вісі (всі смуги між розрізами зображено рожевими лініями на малюнку), і повільно зростає вздовж додатного напрямку дійсної вісі. Якщо похідна на дійсній вісі додатна, то уявна частина суперлогарифма залишається додатною над дійсною віссю і від'ємною під нею.

Див. також

Примітки

Tetra-logarithms [Тетралогарифми]. Енциклопедія послідовностей цілих чисел (англійською). 24 червня 2016. Процитовано 14 травня 2017.
Мунафо, Роберт (2 квітня 2017). Large Numbers (англійською). Процитовано 14 травня 2017.
Роббінс, Ендрю (15 лютого 2006). Tetration [Тетрація]. Home of Tetration (англійською). Архів оригіналу за 1 лютого 2009. Процитовано 14 травня 2017.
Грінчук, М. І. (1986). О сложности реализации последовательности треугольных булевых матриц вентильными схемами различной глубины (44) (вид. Методы дискретного анализа в синтезе управляющих систем). с. 3—23.
Вокер, Пітер (1991). Infinitely Differentiable Generalized Logarithmic and Exponential Functions. Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 57 (196): 723—733. JSTOR 2938713. doi:10.2307/2938713.
Кнезер, Г (1950). Reelle analytische Losungen der Gleichung $\varphi (\varphi (x))=e^{x}$ und verwandter Funktionalgleichungen. Crelle's Journal 187: 56—67.

Посилання

Галідакіс, Іоанніс. Mathematics. Архів оригіналу за 11 жовтня 2006. Процитовано листопад 2007.
Холмс, В. Невілл (1997). Composite Arithmetic: Proposal for a New Standard. IEEE Computer Society Press 30 (3): 65—73.
Мунафо, Роберт. Large Numbers. MROB. Процитовано листопад 2007.
Рубастов, С. А.; Ромеріо, Г. Ф. Ackermann's Function and New Arithmetical Operation. Процитовано листопад 2007.
Роббінс, Ендрю. Solving for the Analytic Piecewise Extension of Tetration and the Super-logarithm. Процитовано листопад 2007.
Сзеркес, Джордж (1998). Abel's equation and regular growth. Математика 7 (2): 85—100.
Вокер, Пітер (жовтень 1991). Infinitely Differentiable Generalized Logarithmic and Exponential Functions. Математика обчислень 57 (196): 723—733.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Tetra-logarithms [Тетралогарифми]. Енциклопедія послідовностей цілих чисел (англійською). 24 червня 2016. Процитовано 14 травня 2017.

[2] Мунафо, Роберт (2 квітня 2017). Large Numbers (англійською). Процитовано 14 травня 2017.

[3] Роббінс, Ендрю (15 лютого 2006). Tetration [Тетрація]. Home of Tetration (англійською). Архів оригіналу за 1 лютого 2009. Процитовано 14 травня 2017.

[4] Грінчук, М. І. (1986). О сложности реализации последовательности треугольных булевых матриц вентильными схемами различной глубины (44) (вид. Методы дискретного анализа в синтезе управляющих систем). с. 3—23.

[walker-5] Вокер, Пітер (1991). Infinitely Differentiable Generalized Logarithmic and Exponential Functions. Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 57 (196): 723—733. JSTOR 2938713. doi:10.2307/2938713.

[hellmuth50-6] Кнезер, Г (1950). Reelle analytische Losungen der Gleichung $\varphi (\varphi (x))=e^{x}$ und verwandter Funktionalgleichungen. Crelle's Journal 187: 56—67.