Теорема Аусландера — Бухсбаума

Нехай R — нетерова область цілісності. Тоді R є факторіальним кільцем якщо і тільки якщо кожний простий ідеал висоти 1 у R є головним.

Припустимо, що R є факторіальним кільцем, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — простий ідеал висоти 1. Нехай ${\displaystyle a\in {\mathfrak {p}},a\neq 0,}$ і p є незвідним дільником a. Тоді ${\displaystyle Rp\subset {\mathfrak {p}}}$ і з того що ${\displaystyle \operatorname {ht} P=1}$ і Rp є простим ідеалом, ${\displaystyle Rp={\mathfrak {p}},}$ тобто ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ є головним ідеалом.

Навпаки припустимо, що кожен простий ідеал висоти 1 є головним. Оскільки R є нетеровим кільцем, кожен елемент ${\displaystyle a\in R,}$ що не є оборотним можна записати як скінченний добуток незвідних елементів. Достатньо довести, що кожен незвідний елемент є простим. Нехай ${\displaystyle a\in R}$ є незвідним елементом і ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — мінімальний простий ідеал над (a). Тоді ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}=1}$ і, за припущенням, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ є головним ідеалом. Тому ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=Rp,}$ де p є простим елементом. Також p ділить незвідний елемент a, тому p = ua, де u є оборотним елементом. Звідси також a є простим елементом.

Нехай R — кільце і M — проективний R-модуль. Якщо для M існує скінченна вільна резольвента

${\displaystyle 0\to M_{n}\to M_{n-1}\to \ldots \to F_{0}\to M\to 0}$

де всі ${\displaystyle M_{i}}$ є вільними модулями скінченного рангу, то існує скінченнопороджений вільний модуль F, для якого ${\displaystyle M\oplus F}$ є вільним модулем скінченного рангу.

Доведення індукцією по n. Якщо n = 0 то ${\displaystyle M\simeq F_{0}}$ є скінченнопородженим вільним модулем. Нехай ${\displaystyle n}$ > 0 і ${\displaystyle K=\operatorname {Ker} (F_{0}\to M).}$ Оскільки M є проективним модулем, ${\displaystyle F_{0}=M\oplus K}$ і для K існує вільна резольвента довжини n - 1. За індукцією існує скінченнопороджений вільний модуль F' для якого ${\displaystyle K\oplus F'=F}$ є скінченнопородженим вільним модулем. Тоді ${\displaystyle M\oplus F=M\oplus K\oplus F'\simeq F_{0}\oplus F',}$ тож ${\displaystyle M\oplus F}$ є скінченнопородженим вільним модулем.

При тих же умовах, що і в попередній лемі, якщо ${\displaystyle M\oplus R^{n}\simeq R^{n+1},}$ то ${\displaystyle M\simeq R.}$

Для кожного простого ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ виконується ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}\oplus R_{\mathfrak {p}}^{n}\simeq R_{\mathfrak {p}}^{n+1}}$ тому M є проективним модулем сталого рангу 1. Крім того для i > 1 маємо

${\displaystyle \left(\bigwedge _{R}^{i}\right)_{\mathfrak {p}}\simeq R_{\mathfrak {p}}\otimes \bigwedge _{R}^{i}M\simeq \bigwedge _{R_{\mathfrak {p}}}^{i}\left(R_{\mathfrak {p}}\otimes _{R}M\right)\simeq \bigwedge _{R_{\mathfrak {p}}}^{i}M_{\mathfrak {p}}.}$

Оскільки попереднє виконується для всіх простих ідеалів, то для i > 1 також ${\displaystyle \bigwedge _{R}^{i}M=0.}$

Тому

${\displaystyle R=\bigwedge ^{n+1}R^{n+1}\simeq \bigwedge ^{n+1}(M\oplus R^{n})\simeq \bigoplus _{i+j=n+1}\bigwedge ^{i}M\otimes \bigwedge ^{j}R^{n}\simeq \bigwedge ^{0}M\otimes \bigwedge ^{n+1}R^{n}\oplus \bigwedge ^{1}M\otimes \bigwedge ^{n}R^{n}\simeq M\otimes _{R}R\simeq M.}$

Нехай I — ненульовий проективний ідеал кільця R для якого існує скінченна вільна резольвента. Тоді I є головним ідеалом.

Згідно леми 2 існує скінченнопороджений модуль F такий що ${\displaystyle I\oplus F=F',}$ де ${\displaystyle F'}$ є скінченнопородженим вільним модулем. Оскільки ${\displaystyle I_{\mathfrak {p}}\oplus F_{\mathfrak {p}}\simeq F'_{\mathfrak {p}},}$ як модуль I має сталий ранг рівний ${\displaystyle \operatorname {rank} F'-\operatorname {rank} F.}$ Оскільки I є ненульовим проективним ідеалом, то ${\displaystyle \operatorname {rank} I=1.}$ Тому з Леми 3 ${\displaystyle I\simeq R.}$

Доведення індукцією по ${\displaystyle d=\dim R.}$ Якщо d = 0, то R є полем.

Припустимо d > 0. Оскільки R є областю цілісності, згідно леми 1 досить довести, що кожен простий ідеал висоти 1 є головним.

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ буде таким ідеалом. Оскільки d > 0, то ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\neq {\mathfrak {m}}^{2}}$ і можна обрати елемент ${\displaystyle a\in {\mathfrak {m}}\setminus {\mathfrak {m}}^{2}.}$ З того що ${\displaystyle \{a\}}$ є частиною регулярної системи параметрів ідеал Ra є простим ідеалом, тобто a є простим елементом. Якщо ${\displaystyle a\in {\mathfrak {p}},}$ то ${\displaystyle Ra\subset {\mathfrak {p}}}$ і оскільки ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ має висоту 1, то ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=Ra}$ є головним ідеалом.

Нехай тепер ${\displaystyle a\neq {\mathfrak {p}}}$ і розглянемо мультиплікативно замкнуту множину ${\displaystyle S=\{a^{n}|n\geqslant 0\}.}$ Якщо ${\displaystyle R'=S^{-1}R,}$ то ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'={\mathfrak {p}}R'}$ є простим ідеалом кільця R' з висотою 1.

Ідеал P' є головним ідеалом. Для цього спершу доведемо, що ідеал P' є проективним ідеалом у кільці R' .

Нехай Q' = QR' — будь-який простий ідеал у кільці R' , де Q є простим ідеалом кільця R. Тоді ${\displaystyle Q\neq {\mathfrak {m}},}$ тому що ${\displaystyle a\not \in Q.}$

Маємо ${\displaystyle R'_{Q'}\simeq R_{Q}}$ є регулярним локальним кільцем розмірності меншої, ніж ${\displaystyle \dim R.}$ Тому за припущенням індукції, ${\displaystyle R'_{Q'}}$ є факторіальним кільцем. Із цього випливає також, що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'R'_{Q'},}$ який є простим ідеалом висоти 1 є головним ідеалом. Оскільки головний ідеал у області цілісності є вільним модулем, то ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'R'_{Q'}}$є вільним, а тому і проективним модулем.

Оскільки проективна розмірність є рівною супремуму по всіх локалізаціях за простими ідеалами, то ${\displaystyle pd_{R'}{\mathfrak {p}}'=\sup _{Q'}pd_{R'_{Q'}}{\mathfrak {p}}'R'_{Q'}=0.}$ Тому ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'}$ є R' -проективним модулем. Також для ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'}$існує скінченна вільна резольвента. Справді оскільки глобальна розмірність кільця R є скінченною то для ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ існує скінченна вільна R-резольвента і тому для ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'={\mathfrak {p}}R'}$ також існує скінченна вільна R' -резольвента.

Згідно леми 4 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'}$ є головним ідеалом у R' . Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'=R'p,}$ де ${\displaystyle p\in {\mathfrak {p}}.}$ Без втрати загальності можна вважати, що a не ділить p. Тоді ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=Rp.}$ Очевидно ${\displaystyle Rp\subset {\mathfrak {p}}.}$ Нехай ${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}'\cap R.}$ Можна записати ${\displaystyle x={\frac {b}{a^{m}}}p}$ або ${\displaystyle a^{m}x=bp.}$ З того що a є простим елементом, що не ділить p, випливає ${\displaystyle a^{m}|b.}$ Тому ${\displaystyle x\in Rp,}$ тобто ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=Rp.}$