Теорема Гурвіца (комплексний аналіз)

Теорема Гурвіца — твердження в комплексному аналізі, що описує зв'язок нулів голоморфної функції з нулями послідовності голоморфних функцій, що нормально (рівномірно на компактах) збігаються до неї. Теорема названа на честь німецького математика Адольфа Гурвіца.

Твердження теореми

Нехай {fk} послідовність голоморфних функцій на зв'язаній відкритій множині G, що рівномірно збігаються на усіх компактних підмножинах множини G до голоморфної функції f. Якщо f має нуль порядку m в точці z0 то для довільного достатньо малого, дійсного числа ρ> 0 і для досить великих kN (що залежать від ρ), функції fk матимуть по m нулів, у околі |zz0| < ρ, з урахуванням кратності. Крім того, ці нулі сходяться до z 0 при k → ∞.

Зауваження

Аналог теореми для випадку дійсних змінних не є справедливим. Наприклад функції рівномірно на всіх компактних підмножинах дійсних чисел збігаються до функції і всі згадані функції є нескінченну кількість разів диференційовними. Проте функція f має нуль порядку 2 для x = 0, тоді як функції fk нулів не мають.

Зрозуміло, якщо розглядати ці функції у комплексній площині твердження теореми буде справедливим, оскільки функції fk мають по два корені, які прямують до нуля при зростанні k.

Наслідки

  • Нехай G зв'язана відкрита множина і {fk} — послідовність голоморфних функцій, які сходяться рівномірно на компактах y G до голоморфної функції f. Якщо кожна функція fk не рівна нулю в усіх точках множини G, то f або тотожно дорівнює нулю, або також не дорівнює нулю на всій множині G.
Нехай f не тотожно рівна нулю але має нуль в точці z0. Тоді згідно теореми Гурвіца в околі |zz0| < ρ точки z0 всі функції fk для достатньо великих k теж мають нулі, що суперечить умовам накладеним на ці функції.
  • Якщо {fk} є послідовністю голоморфних ін'єктивних функцій на зв'язаній відкритій множині G (такі функції називаються однолистими або унівалентними на G), і вони рівномірно сходяться на компактах у G до голоморфної функції f, то f є або теж ін'єктивною або константою.
Нехай функція f не є константою і w0 — довільне значення, яке вона набуває в множині G. Нехай z1 і z2 такі що f(z1) = f(z2) = w0. Якщо визначити функції g = f w0 і gk = fk w0 то очевидно, що gk є голоморфними ін'єктивними функціями, що рівномірно на компактах збігаються до g, а z1 і z2 є нулями функції g. Згідно теореми Гурвіца існує послідовність комплексних чисел zk1 що збігається до z1 і для достатньо великих k число zk1 є нулем функції gk. Таким самим чином існує послідовність комплексних чисел zk2, що збігається до z2 і для достатньо великих k число zk2 є нулем функції gk. Відповідно для всіх достатньо великих k оба числа zk1 і zk2 є нулями функції gk і оскільки функції gk є ін'єктивними то zk1 = zk2 для всіх достатньо великих k. Тобто, починаючи з деякого індексу, послідовності приймають однакові значення і відповідно їхні границі рівні між собою: z1 = z2. Тобто g має лише один нуль і відповідно f набуває значення w0 лише в одній точці множини G. Зважаючи на довільність вибору w0, f є ін'єктивною на множині G.
  • Більш загально, нехай {fk} є послідовністю голоморфних функцій на зв'язаній відкритій множині G і ця послідовність рівномірно сходиться на компактах у G до голоморфної функції f не рівної константі. Тоді якщо починаючи з якогось індексу всі члени послідовності приймать значення a не більше, ніж у n точках області G то і функція f є рівною a не більше, ніж у n точках області G.

Доведення

Нехай f голоморфна функція на відкритій підмножині комплексної площини, що має нуль порядку m в точці z0, і {fn} — послідовність функцій, що рівномірно сходиться на компактних підмножинах до f. Якщо f не рівна всюди нулю то кожен її нуль є ізольованою точкою тобто можна знайти таке дійсне число ρ > 0, що f(z) ≠ 0 для всіх z, що задовольняють умову 0 < |zz0| ≤ ρ. Оскільки множина |zz0| = ρ є компактною, будь-яка дійсна функція на ній набуває своїх мінімальних і максимальних значень.

Зокрема для фнукції |f(z)| на цій множині мінімальне значення є додатнім, тобто існує дійсне число δ > 0 для якого |f(z)| > δ для всіх z на колі|zz0| = ρ. Оскільки fk(z) збігається рівномірно в замкнутому крузі (який є компактною множиною), існує натуральне число N таке що |fk(z)| ≥ δ/2 для всіх натуральних чисел kN і всіх комплексних чисел z на визначеному колі. Тому функції fk′(z)/fk(z) є коректно визначеними на колі |zz0| = ρ для достатньо великих k. Оскільки fk(z) рівномірно збігається до f на колі то також fk′(z) на цьому ж колі рівномірно збігається до f' і також маємо рівномірну збіжність:

Позначаючи кількість нулів функції fk(z) в крузі |zz0| ≤ ρ через Nk, можна застосувати принцип аргументу:

Перестановка границі і інтегралу є допустимою зважаючи на рівномірну збіжність послідовності у замкнутому крузі. Отож Nkm при k → ∞. Оскільки всі Nk є цілими числами, Nk мають бути рівними m для всіх достатньо великих k.

Див. також

Джерела

  • John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag, New York, New York, 1978.(англ.)
  • Greene, Robert E., Krantz, Steven G., Function Theory of One Complex Variable, AMS, 2006.(англ.)

Посилання

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.