Торстен Карлеман

Торстен Карлеман народився в родині шкільного вчителя Карла Юхана Карлемана. У 1910 році закінчив школу і вступив до Упсальсього університету, який закінчив у 1916 році. В 1917 році захистив дисертацію і став доцентом Уппсальського університету. Його перша книга «Сингулярні інтегральні рівняння з речовим симетричним ядром» (1923) зробила ім'я Карлемана знаменитим. З 1923 року — професор Лундського університету. У 1924 році за рекомендацією Йоста Літтаг-Леффлера призначений професором Стокгольмського університету[9][8][10].

Карлеман мав добрі стосунки з багатьма математиками, відвідував лекції в Цюріху, Геттінгені, Оксфорді, Сорбонні, Нансі та Парижі, часто сам виступав там з лекціями. Часто відвідував Париж[10]. Відрізнявся своєрідним похмурим почуттям гумору. Незадовго до смерті він сказав своїм учням, що «викладачів слід розстрілювати у віці п'ятдесяти років»[11]. В останнє десятиліття свого життя зловживав спиртним[12].

У 1929 році одружився з Анною-Лізою Лемінг (1885—1954), в 1946 році подружжя розійшлося.

Основні напрямки досліджень Карлемана — інтегральні рівняння і теорії функцій. Багато його творів випередили свій час і тому не були зразу належно оцінені, але тепер розглядаються як класичні.[10].

Дисертація Карлемана та його перші праці на початку 1920-х років була присвячена сингулярним інтегральним рівнянням. Він розробив спектральну теорію для інтегральних операторів з «ядром Карлемана», тобто таким ядром K(x, y), що K(y, x) = K(x, y) для майже всіх (x, y), і при цьому:

${\displaystyle \int |K(x,y)|^{2}dy<\infty }$

для майже кожного х[13][14].

В середині 1920-х років Карлеман розробив теорію квазианалітичних функцій. Він довів необхідну і достатню умову квазіаналітичності, яка тепер називається теоремою Данжуа–Карлемана[15]. Як наслідок, він отримав «умову Карлемана» — достатню умову для визначення проблеми моментів[16]. Як один із кроків у доказі теореми Данжуа–Карлемана (1926), він представив нерівність Карлемана:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\right)^{1/n}\leqslant e\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},}$

справедливі для будь-якої послідовності невід'ємних дійсних чисел ${\displaystyle a_{n}}$[17]. Ввів поняття «континууму Карлемана»[18].

Приблизно в той же час він встановив «формули Карлемана» в комплексному аналізі, які, на відміну від формули Коші, відтворюють аналітичну функцію у сфері за її значенням на частини кордону (з ненульовою мірою Лебега). Він також довів узагальнення формули Єнсена, яке тепер часто називається формулою Єнсена — Карлемана[9].

У 1930-ті роки, незалежно від Джона фон Неймана, Карлеман виявив варіант ергодичної теореми (the mean ergodic theorem)[19]. Пізніше він займався теорією диференціальних рівнянь в приватних похідних, де представив «оцінки Карлемана»,[20], причому знайшов спосіб вивчити спектральні асимптотики операторів Шредінгера[21].

У 1932 році, розвиваючи роботи Анрі Пуанкаре, Еріка Івара Фредгольма и Бернарда Купмана, він розробив вбудовування Карлемана (також зване лінеаризацією Карлемана)[22][23]. Карлеман також вперше розглянув граничну задачу аналітичних функцій із зсувом, що змінює напрямок обходу контуру на зворотне («гранична задача Карлемана»).

У 1933 році Карлеман опублікував короткий доказ того, що зараз називається теоремою Данжуа — Карлемана — Альфорса[24]. Ця теорема стверджує, що число асимптотичних значень, прийнятих цілою функцією порядку ρ вздовж кривих на комплексній площині в напрямку до нескінченної абсолютною величиною, менше або дорівнює 2ρ.

У 1935 році Карлеман представив узагальнення перетворення Фур'є, яке стимулювало подальші роботи Мікіо Сато про гіперфункції[25]; його замітки були опубліковані в Carleman, (1944). Він розглянув функції ${\displaystyle f}$ не більше ніж поліноміального зростання і показав, що кожна така функція може бути розкладена як ${\displaystyle f_{+}+f_{-}}$, де доданки є аналітичними у верхній і нижній напівплощинах відповідно, причому уявлення є по суті єдиним. Потім він визначив Фур'є-образи ${\displaystyle f_{+},f_{-}}$ як ще одну таку пару ${\displaystyle g_{+},g_{-}}$. Це визначення відповідає тому, що дано пізніше Лораном Шварцем для узагальнених функцій повільного зростання, хоча концептуально від нього відрізняється. Підхід Карлемана викликав безліч робіт, що розширюють його ідеї[26].

Повернувшись до математичної фізики в 1930-ті роки, Карлеман дав перший доказ глобального існування для рівняння Больцмана в кінетичній теорії газів (його результат відноситься до просторово-однорідної нагоди).[27]. Ця робота була опубліковані посмертно в Carleman, (1957).

Карлеман опублікував п'ять книг і шістдесят статей з математики.

• Carleman, T. Sur les équations integrales singulières à noyau réel et symétrique, Uppsala, 1923.
• Carleman, T. (1926). Les fonctions quasi analytiques (French). Paris: Gauthier-Villars. JFM 52.0255.02..
• Carleman, T. Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte partieller Differentialgleichungen, «Berichte über die Verhandlungen Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-physikalische Klasse», 1936, Bd 88.
• Carleman, T. (1944). L'Intégrale de Fourier et Questions que s'y Rattachent (French). Uppsala: Publications Scientifiques de l'Institut Mittag-Leffler. MR 0014165..
• Carleman, T. (1957). Problèmes mathématiques dans la théorie cinétique des gaz (French). Uppsala: Publ. Sci. Inst. Mittag-Leffler. MR 0098477.
• Carleman, Torsten (1960). У Pleijel, Ake; Lithner, Lars; Odhnoff, Jan. Edition Complete Des Articles De Torsten Carleman. Litos reprotryk and l'Institut mathematique Mittag-Leffler..

• Карлеман Т. Математичні задачі кінетичної теорії газів. М.: Іноземна література, 1960. 125 с.

• Боголюбов Алексей Николаевич. Математики. Механики. Биографический справочник. — Киев : «Наукова думка», 1983. — С. 55. — 50 000 прим. (рос.)

• Лех Малигранда, Джон Дж. О'коннор і Едмунд Ф. Робертсон. Карлеман, Торстен (англ.) — біографія в архіві MacTutor.
• Торстен Карлеман (англ.) у проекті «Математична генеалогія»
• Карлемана theorem.