Умова Оре

У комутативній алгебрі, локалізація кільця є одним із найважливіших засобів дослідження. При локалізації елементи деякої множини ${\displaystyle S}$ кільця стають оборотними і можуть розглядатися як знаменники. Щоб така конструкція мала зміст необхідно лише щоб множина ${\displaystyle S}$ була мультиплікативною, містила 1 і не містила 0.

При спробі узагальнити цю конструкцію на випадок некомутативних кілець виникає кілька проблем. Хоча можна ввести абстрактні кільця в яких елементи ${\displaystyle S}$ будуть оборотними і які задовольняють деяку універсальну властивість аналогічну до комутативного випадку, але ці кільця загалом мають погані властивості і їх не просто задати. Навіть у випадку кілець без дільників нуля, наприклад, існують кільця які не можна вкласти у тіло, тобто у цьому випадку немає загальної конструкції аналогічної до поля часток.

Більш конкретно, якщо намагатися подібно до комутативного випадку формально розглядати вирази виду as⁻¹, то виникають проблеми із інтерпретацією добутку (as⁻¹)(bt⁻¹). Щоб можна було отримати змістовну конструкцію такого виду потрібно переписати добуток s⁻¹b як b₁s₁⁻¹. Якщо це можливо, то помноживши зліва на s і справа на s₁, отримаємо еквівалентну умову bs₁ = sb₁. Відповідно для довільних добутків потрібно для всіх b і s існування b₁ і s₁ із s₁ ≠ 0 і для яких as₁ = sa₁.

Норвезький математик Ойстен Оре у 1931 році ввів саме цей критерій і показав, що при цьому можна ввести кільця часток із хорошими математичними властивостями [1]. Надалі ідеї Оре були узагальнені Кейзо Асано [2] і іншими.

Нехай ${\displaystyle R}$ є довільним некомутативним кільцем. Нехай ${\displaystyle S}$ є множиною регулярних елементів (тобто елементів, що не є лівими чи правими дільниками нуля). Ця множина є мультиплікативною, не містить 0 і містить 1 (якщо R є кільцем з одиницею). У випадку кілець без дільників нуля ${\displaystyle S=R-\lbrace 0\rbrace }$.

Кільце ${\displaystyle R}$ задовольняє праву умову Оре, якщо для всіх елементів ${\displaystyle s\in S,a\in R}$ існують елементи ${\displaystyle t\in S,r\in R}$ для яких ${\displaystyle at=sr}$ або еквівалентно:

${\displaystyle aS\cap sR\neq \emptyset }$.

Кільце у якому виконується права умова Оре називається правим кільцем Оре.

У випадку кілець без дільників нуля ${\displaystyle R}$ задовольняє праву умова Оре, якщо для всіх елементів ${\displaystyle a,b\in R-\lbrace 0\rbrace }$ виконується умова:

${\displaystyle aR\cap bR\neq \lbrace 0\rbrace }$,

тобто ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ мають деяке спільне кратне справа окрім 0.

Еквівалентно можна ввести означення лівої умови Оре і лівого кільця Оре.

• Кожне (ліве чи праве) кільце Нетер без дільників нуля задовольняє (ліву/праву) умову Оре.
• Кільце без дільників нуля є (правим/лівим) кільцем Оре якщо і тільки якщо воно є рівномірним (лівим/правим) модулем над собою, тобто перетин двох ненульових підмодулів завжди буде ненульовим підмодулем.
• Кільце цілих кватерніонів є кільцем Оре і його тілом часток є тіло раціональних кватерніонів.
• Довільне комутативне кільце є кільцем Оре і звичайна локалізація є кільцем часток.
• Нехай ${\displaystyle k}$ — поле, ${\displaystyle k[x]}$— кільце многочленів від змінної ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle k(x)}$— кільце раціональних функцій над ${\displaystyle k}$ від змінної ${\displaystyle x}$. Тоді кільце

${\displaystyle R={\begin{pmatrix}k&k[x]\\0&k[x]\end{pmatrix}}}$

є правим кільцем Оре із кільцем правих часток

${\displaystyle R={\begin{pmatrix}k&k(x)\\0&k(x)\end{pmatrix}}}$.

Проте це кільце не є лівим кільцем Оре оскільки

${\displaystyle S\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\cap R\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&x\end{pmatrix}}=\emptyset }$

тобто ліва умова Оре порушується.

Означення кільця (правих) часток ${\displaystyle RS^{-1}}$ можна модифікувати для більш загальних множин ${\displaystyle S}$ (замість «класичної» множини регулярних елементів кільця ${\displaystyle R}$). В загальному випадку проте гомоморфізм ${\displaystyle \phi }$ може не бути ін'єктивним. Натомість виконується умова:

ker ${\displaystyle \phi =\lbrace a\in R:\exists \;s\in S\;\;as=0\rbrace }$.

Кільце (правих) часток щодо множини ${\displaystyle S}$ можна побудувати якщо і тільки якщо ${\displaystyle S}$ задовольняє властивості:

• Для всіх ${\displaystyle s\in S,a\in R}$ існують елементи ${\displaystyle t\in S,r\in R}$, для яких ${\displaystyle at=sr}$ , (узагальнення умови Оре для ${\displaystyle S}$.)
• Якщо для ${\displaystyle a\in R}$ існує елемент ${\displaystyle s\in S}$ для якого ${\displaystyle sa=0}$, то існує також ${\displaystyle s'\in S}$ із властивістю ${\displaystyle as'=0}$.

• Локалізація кільця
• Повне кільце часток
• Поле часток

• A. V. Jategaonkar (1986). Localization in Noetherian rings. London Mathematical Society Lecture Note Series 98. Cambridge University Press. ISBN 9780521317139.
• Stenström, Bo (1971). Rings and modules of quotients. Lecture Notes in Mathematics 237. Berlin: Springer-Verlag. с. vii+136. ISBN 978-3-540-05690-4. MR 0325663. Zbl 0229.16003. doi:10.1007/BFb0059904.