Лінія Ейлера

У 1765 році Ейлер показав, що в будь-якому трикутнику ортоцентр, центр описаного кола та центроїд лежать на одній прямій[2]. Ця властивість справедлива і для іншого центра трикутника, — центра кола дев'яти точок, хоча він не був визначений за часів Ейлера. У рівносторонніх трикутниках ці чотири точки збігаються, але в будь-якому іншому трикутнику всі вони відрізняються один від одного, і пряма Ейлера визначається будь-якими двома з них.

Інші визначні точки, які лежать на прямій Ейлера, включають точку Лонгшампа, точку Шифлера, точку Ексетера та перспектор Госсара[1]. Однак центр вписаного кола, зазвичай, не лежить на прямій Ейлера[3]; він знаходиться на прямій Ейлера лише для рівнобедрених трикутників[4], для якої пряма Ейлера збігається з віссю симетрії трикутника і містить усі центри трикутника.

Тангенціальний трикутник опорного трикутника дотичний до кола описаного навколо останнього у вершинах опорного трикутника. Цент кола описаного навколо дотичного трикутника лежить на прямій Ейлера опорного трикутника[5]^{:p. 447}[6]^{:p.104,#211;p.242,#346}. Центр подібності ортичного трикутника (утвореного основами висот) та дотичного трикутника також знаходиться на прямій Ейлера[5]^{:p. 447}[6]^{:p. 102}.

Розглянемо трикутник ${\displaystyle ABC}$. Довести, що центр описаного кола ${\displaystyle O}$, центроїд ${\displaystyle G}$ та ортоцентр ${\displaystyle H}$ є колінеарними, можна за допомогою векторів. По-перше, ${\displaystyle G}$ задовольняє відношенню:

${\displaystyle {\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}=0.}$

Це випливає з того, що модулі барицентричних координат ${\displaystyle G}$ відносяться як ${\displaystyle {\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}}$. Далі, задача Сильвестра[7] інтерпретується як

${\displaystyle {\vec {OH}}={\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}.}$

Тепер, за допомогою векторного додавання, отримаємо, що

${\displaystyle {\vec {GO}}={\vec {GA}}+{\vec {AO}}\,{\mbox{(}}\triangle AGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GB}}+{\vec {BO}}\,{\mbox{(}}\triangle BGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GC}}+{\vec {CO}}\,{\mbox{(}}\triangle CGO{\mbox{)}}.}$

Додаючи усі ці три вирази, отримаємо, що

${\displaystyle 3\cdot {\vec {GO}}=\left({\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}\right)+\left({\vec {AO}}+{\vec {BO}}+{\vec {CO}}\right)=0-\left({\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}\right)=-{\vec {OH}}.}$

Остаточно, ${\displaystyle 3\cdot {\vec {OG}}={\vec {OH}}}$ і три точки ${\displaystyle O}$, ${\displaystyle G}$ і ${\displaystyle H}$ (у такій послідовності) будуть колінеарними.

У книзі Доррі[7] пряма Ейлера та проблема Сильвестра об'єднані в одне доведення. Однак більшість доказів задачі Сильвестра спираються на основні властивості вільних векторів, незалежно від прямої Ейлера.

На прямій Ейлера центроїд ${\displaystyle G}$ знаходиться між центром описаного кола ${\displaystyle O}$ і ортоцентром ${\displaystyle H}$, і вдвічі далі від ортоцентра, ніж від центра описаного кола[6]^:p.102:

${\displaystyle GH=2GO;}$

${\displaystyle OH=3GO.}$

Відрізок ${\displaystyle GH}$ — це діаметр ортоцентроїдального кола.

Центр ${\displaystyle N}$ кола дев'яти точок лежить уздовж прямої Ейлера посередині між ортоцентром і центром описаного кола[1]:

${\displaystyle ON=NH,\quad OG=2\cdot GN,\quad NH=3GN.}$

Таким чином, пряма Ейлера може бути представлена на числовій прямій з центром описаного кола ${\displaystyle O}$ розташованим у 0, центроїдом ${\displaystyle G}$ в 2${\displaystyle t}$, центром кола дев'яти точок у 3${\displaystyle t}$ і ортоцентрі ${\displaystyle H}$ в 6${\displaystyle t}$, для деякого коефіцієнту масштабу ${\displaystyle t}$. Крім того, квадрат відстані між центроїдом та центром описаного кола на прямій Ейлера менше, ніж R² описаного кола на величину, яка дорівнює 1/9 сумі квадратів сторін трикутника ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ та ${\displaystyle c}$[6]^:p.71:

${\displaystyle GO^{2}=R^{2}-{\tfrac {1}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

Також виконуються[6]^:p.102,

${\displaystyle OH^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2});}$

${\displaystyle GH^{2}=4R^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

Інший спосіб представити пряму Ейлера — залежною від параметра t. Скористаємось трилінійними координатами двох точок — центром описаного кола (з трилінійними координатами ${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C}$) та ортоцентром (з трилінійними координатами ${\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C=\cos B\cos C:\cos C\cos A:\cos A\cos B)}$. Тоді кожна точка на прямій Ейлера, крім ортоцентра, задається трилінійними координатами

${\displaystyle \cos A+t\cos B\cos C:\cos B+t\cos C\cos A:\cos C+t\cos A\cos B}$

як лінійна комбінація трилінійними координат цих двох точок, для деякого t.

Наприклад:

• Центр описаного кола має трилінійні координати ${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C}$, що відповідає значенню параметра ${\displaystyle t=0.}$
• Центроїд має трилінійні координати ${\displaystyle \cos A+\cos B\cos C:\cos B+\cos C\cos A:\cos C+\cos A\cos B}$, що відповідає значенню параметра ${\displaystyle t=1.}$
• Центр кола дев'яти точок має трилінійні координати ${\displaystyle \cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B}$, що відповідає значенню параметра ${\displaystyle t=2.}$
• Точка Лонгшампа має трилінійні координати ${\displaystyle \cos A-\cos B\cos C:\cos B-\cos C\cos A:\cos C-\cos A\cos B}$, що відповідає значенню параметра ${\displaystyle t=-1.}$

У декартовій системі координат позначають нахили сторін трикутника як ${\displaystyle m_{1},}$ ${\displaystyle m_{2},}$ та ${\displaystyle m_{3},}$ і позначають нахил його прямої Ейлера як ${\displaystyle m_{E}}$. Тоді вони пов'язані рівнянням[9]^{:Lemma 1}

${\displaystyle m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{1}m_{E}+m_{2}m_{3}+m_{2}m_{E}+m_{3}m_{E}+3m_{1}m_{2}m_{3}m_{E}+3=0.}$

Таким чином, нахил прямої Ейлера (якщо він скінченний) виражається в термінах нахилів сторін як

${\displaystyle m_{E}=-{\frac {m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{2}m_{3}+3}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+3m_{1}m_{2}m_{3}}}.}$

Більше того, пряма Ейлера паралельна стороні гострого трикутника BC тоді і лише тоді, коли[9]^:p.173 ${\displaystyle \mathop {\rm {tg}} B\mathop {\rm {tg}} C=3.}$

У прямокутному трикутнику пряма Ейлера збігається з медіаною проведеною до гіпотенузи, тобто вона проходить через вершину прямого кута і через середину сторони, протилежну цій вершині. Це тому, що ортоцентр прямокутного трикутника, перетин його висот потрапляє у вершину прямого кута, тоді як його центр описаного кола, перетин серединних перпендикулярів до сторін, потрапляє на середину гіпотенузи.

Пряма Ейлера в рівнобедреному трикутнику збігається з віссю симетрії. У рівнобедреному трикутнику центр вписаного кола потрапляє на лінію Ейлера.