Центр вписаного кола

Трилінійні координати точки в трикутнику утворюють з відстаней до сторін трикутника. Трилінійні координати утворюють для центра вписаного кола відношення[6].

${\displaystyle \ 1:1:1.}$

Барицентричні координати точки у трикутнику показують вагу, яку б мали вершини середньозваженою трикутника.

Застосування барицентричних координат для центра вписаного кола

${\displaystyle \ a:b:c}$

де ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, і ${\displaystyle c}$ - довжини сторін трикутника, або еквівалентно (використовуючи теорему синусів)

${\displaystyle \sin(A):\sin(B):\sin(C)}$

де ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, і ${\displaystyle C}$ - кути трикутника.

Декартові координати інцентра - це середнє арифметичне значення координат трьох вершин, використовуючи бічні довжини трикутника відносно периметра, тобто, використовуючи барицентричні координати, наведені вище, нормовані на суму до одиниці ваги. (Ваги додатні, тому центр вписаного кола лежить всередині трикутника, як зазначено вище. ) Якщо три вершини розташовані на ${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$, ${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$, і ${\displaystyle (x_{C},y_{C})}$, а сторони навпроти цих вершин мають відповідні довжини ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, і ${\displaystyle c}$, тоді координати центра вписаного кола

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {ax_{A}+bx_{B}+cx_{C}}{a+b+c}},{\frac {ay_{A}+by_{B}+cy_{C}}{a+b+c}}{\bigg )}={\frac {a(x_{A},y_{A})+b(x_{B},y_{B})+c(x_{C},y_{C})}{a+b+c}}.}$

Позначаючи центр вписаного кола в трикутника ABC як I, відстані від інцентра до вершин та довжини сторін трикутника мають залежність вигляду [7]

${\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1.}$

Крім того,[8]

${\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2},}$

де R і r - радіус описаного кола і радіус вписаного кола відповідно.

Відстань від центра вписаного кола до центроїда менше третини довжини найдовшої медіани трикутника. [9]

За теоремою Ейлера відстань у квадраті від центра вписаного кола I до центра описаного кола O визначається формулою: [10] [11]

${\displaystyle OI^{2}=R(R-2r),}$

де R і r - це радіус описаного кола і радіус вписаного кола відповідно; таким чином радіус описаного кола завжди більше радіуса вписаного кола, більш, ніж вдвічі, з рівністю тільки в рівносторонньому трикутнику.[12]^{:p. 198}

Відстань від центра вписаного кола до центра N кола дев'яти точок дорівнює: [11]

${\displaystyle IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.}$

У квадраті відстань від вписаного кола до ортоцентра H є[13]:

${\displaystyle IH^{2}=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.}$

Крім того,

${\displaystyle IG<HG,\quad IH<HG,\quad IG<IO,\quad 2IN<IO.}$

Центр вписаного кола - точка Найгеля серединного трикутника (трикутник, вершини якого є серединами сторін) і тому лежить всередині цього трикутника. І навпаки, точка Нагеля будь-якого трикутника є інцентром трикутника, для якого заданий трикутник - серединний . [14]

Центр вписаного кола повинен лежати у внутрішній частині круга, діаметр якого з'єднує центроїд G та ортоцентр H (ортоцентроїдний круг), але він не може збігатися з центром кола дев'яти точок, розміщеним на 1/4 шляху вздовж діаметра (ближче до G ). Будь-яка інша точка ортоцентроїдного круга є інцентром унікального трикутника. [15]

Лінія Ейлера трикутника - це лінія, що проходить через його центр описаного кола, центроїд та ортоцентр. Центр вписаного кола зазвичай не лежить на лінії Ейлера; [16] він знаходиться на лінії Ейлера лише для рівнобедрених трикутників, [17] для яких лінія Ейлера збігається з віссю симетрії трикутника і містить усі центри трикутника.

Позначаючи відстань від інцентра до лінії Ейлера d, довжина найдовшої медіани v, довжина найдовшої сторони u, радіус описаного кола R, довжина відрізка лінії Ейлера від ортоцентра до центра описаного кола e, і напівперіметр s, матимемо нерівності: [18]

${\displaystyle {\frac {d}{s}}<{\frac {d}{u}}<{\frac {d}{v}}<{\frac {1}{3}};}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{3}}e;}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{2}}R.}$