Цифровий корінь

У дванадцятковій системі числення, 8 — це мультиплікативний цифровий корінь 3110, як для ${\displaystyle n=3110}$

${\displaystyle d_{0}={\frac {3110{\bmod {12^{0+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {3110{\bmod {12}}-3110{\bmod {1}}}{1}}={\frac {2-0}{1}}={\frac {2}{1}}=2}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {3110{\bmod {12^{1+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {3110{\bmod {144}}-3110{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {86-2}{12}}={\frac {84}{12}}=7}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {3110{\bmod {12^{2+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{2}}{12^{2}}}={\frac {3110{\bmod {1728}}-3110{\bmod {1}}44}{144}}={\frac {1382-86}{144}}={\frac {1296}{144}}=9}$

${\displaystyle d_{3}={\frac {3110{\bmod {12^{3+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{3}}{12^{3}}}={\frac {3110{\bmod {20736}}-3110{\bmod {1}}728}{1728}}={\frac {3110-1382}{1728}}={\frac {1728}{1728}}=1}$

${\displaystyle F_{12}(3110)=\sum _{i=0}^{4-1}d_{i}=2+7+9+1=19}$

Тепер для ${\displaystyle F_{12}(3110)=19}$

${\displaystyle d_{0}={\frac {19{\bmod {12^{0+1}}}-19{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {19{\bmod {12}}-19{\bmod {1}}}{1}}={\frac {7-0}{1}}={\frac {7}{1}}=7}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {19{\bmod {12^{1+1}}}-19{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {19{\bmod {144}}-19{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {19-7}{12}}={\frac {12}{12}}=1}$

${\displaystyle F_{12}(19)=\sum _{i=0}^{2-1}d_{i}=1+7=8}$

Оскільки 8 — це одноцифрове число в дванадцятковій системі числення,

${\displaystyle F_{12}(8)=8}$

Формула в основі ${\displaystyle b}$ є:

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\b-1&{\mbox{if}}\ n\neq 0,\ n\ \equiv 0{\bmod {b-1}},\\n\ {\rm {mod}}\ (b-1)&{\mbox{if}}\ n\not \equiv 0{\bmod {b-1}}\end{cases}}}$

або,

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\1\ +\ ((n-1)\ {\rm {mod}}\ (b-1))&{\mbox{if}}\ n\neq 0.\end{cases}}}$

У десятковій системі числення відповідна послідовність є послідовність A010888 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Цифровим коренем є значення модуля ${\displaystyle b-1}$ тому, що ${\displaystyle b\equiv 1{\bmod {b-1}},}$ і таким чином ${\displaystyle b^{k}\equiv 1^{k}\equiv 1{\bmod {b-1}},}$ так що незалежно від положення, значення ${\displaystyle n{\bmod {b}}-1}$ те саме, що і ${\displaystyle ab^{2}\equiv ab\equiv a{\bmod {b-1}}}$ – тому цифри можуть бути змістовно додані. Конкретно, для трицифрового числа ${\displaystyle n=a_{1}b^{2}+a_{2}b^{1}+a_{3}b^{0}}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)\equiv a_{1}b^{2}+a_{2}b^{1}+a_{3}b^{0}\equiv a_{1}(1)+a_{2}(1)+a_{3}(1)\equiv (a_{1}+a_{2}+a_{3}){\bmod {b-1}}}$.

Для отримання модульного значення відносно інших чисел ${\displaystyle n}$, можна взяти зважені суми, де вага на ${\displaystyle k}$-й цифрі відповідає значенню ${\displaystyle b^{k}}$ по модулю ${\displaystyle n}$. У десятковій системі числення, це є найпростіші 2, 5 і 10, де вищі цифри зникають (оскільки 2 і 5 ділить 10), що відповідає знайомому факту, що поділяється десяткове число відносно 2, 5 і 10 можна перевірити останньою цифрою (парні числа закінчуються на 0, 2, 4, 6 або 8).

Також слід зазначити, що модуль ${\displaystyle n=b+1}$: оскільки ${\displaystyle b\equiv -1{\bmod {b+1}},}$ і таким чином ${\displaystyle b^{2}\equiv (-1)^{2}\equiv 1{\pmod {b+1}},}$ отримання чергування суми цифр дає значення модуля ${\displaystyle b+1}$.

Це допомагає бачити цифровий корінь додатного цілого числа, як положення, яке він займає відносно найбільшого кратного ${\displaystyle b-1}$ менше, ніж саме число. Наприклад, у системі числення з основою 6 цифровий корінь 11 дорівнює 2, що означає, що 11 – друге число після ${\displaystyle 6-1=5}$. Так само у десятковій системі числення, цифровий корінь 2035 року дорівнює 1, це означає, що ${\displaystyle 2035-1=2034|9}$. Якщо число створює цифровий корінь точно ${\displaystyle b-1}$, то число є кратним ${\displaystyle b-1}$.

Зважаючи на це, цифровий корінь додатного цілого числа ${\displaystyle n}$ може бути визначений за допомогою функції підлоги ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$, як

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)=n-(b-1)\left\lfloor {\frac {n-1}{b-1}}\right\rfloor .}$

• Цифровий корінь ${\displaystyle a_{1}+a_{2}}$ в основі ${\displaystyle b}$ — цифровий корінь суми цифрового кореня ${\displaystyle a_{1}}$ і цифрового кореня ${\displaystyle a_{2}}$. Цю властивість можна використовувати як своєрідну контрольну суму, щоб перевірити, чи правильно знайдена сума.

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}+a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})+\operatorname {dr} _{b}(a_{2})).}$

• Цифровий корінь ${\displaystyle a_{1}-a_{2}}$ в основіі ${\displaystyle b}$ відповідає різниці цифрового кореня ${\displaystyle a_{1}}$ і цифрового кореня ${\displaystyle a_{2}}$ по модулю ${\displaystyle b-1}$.

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}-a_{2})\equiv (\operatorname {dr} _{b}(a_{1})-\operatorname {dr} _{b}(a_{2})){\bmod {b-1}}.}$

• Цифровий корінь ${\displaystyle -n}$ в основі ${\displaystyle b}$ виглядає наступним чином:

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(-n)\equiv -\operatorname {dr} _{b}(n){\bmod {b-1}}.}$

• Цифровий корінь добутку ненульових одноцифрових чисел ${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}}$ в основі ${\displaystyle b}$ задається Ведичним квадратом в основі ${\displaystyle b}$.
• Цифровий корінь ${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}}$ в основі ${\displaystyle b}$ цифровий корінь добутку цифрового кореня ${\displaystyle a_{1}}$та цифрового кореня ${\displaystyle b_{2}}$.

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})\cdot \operatorname {dr} _{b}(a_{2})).}$