Вагова функція

Вагова функція — спеціальна математична конструкція, яка використовується при підсумовуванні, інтегруванні чи усередненні, щоб надати більшої «ваги» певним елементам в кінцевому результаті порівняно з іншими елементами[1]. Потреба у введені таких функцій часто виникає в статистиці та математичному аналізі. Поняття вагової функції тісно пов'язане з теорією міри. Вагові функції можуть використовуватись як із дискретними, так і з неперервними величинами.

Дискретний випадок

Дискретна вагова функція $w:A\to {\mathbb {R} }^{+}$ — невід'ємна функція, визначена на дискретній множині значень $A$ , яка зазвичай скінченна або зліченна. Одинична вагова функція $w(a):=1$ відповідає звичайному, незваженому випадку, коли всі елементи мають однакову вагу.

Нехай задано деякий набір дійсних значень, які занумеровані елементами множини $A$ :

\{f(a),a\in A\}.

Тоді звичайна незважена сума елементів $f(a)$ по множині $A$ визначається як

S=\sum _{a\in A}f(a).

У зваженій сумі з вагою $w$ , ми кожному елементу $f(a)$ надаємо відповідну вагу $w(a)$ , домножуючи його на значення ваги, і тоді зважена сума визначається таким чином:

S_{w}=\sum _{a\in A}f(a)w(a).

Незваженим середнім значенням по скінченній множині $A$ називається сума вигляду

{\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)

,

де $|A|$ — потужність множини $A$ , тобто кількість її елементів.

У зваженому середньому потужність $|A|$ замінюють на зважену потужність, суму ваг всіх елементів

\sum _{a\in A}w(a).

Зважене середнє арифметичне у такому випадку визначається як

{\bar {f}}={\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}.

Застосування

Термін вагова функція виник з механіки: при обчисленні цента мас системи з $n$ точкових тіл з масами $w_{1},\ldots ,w_{n}$ , центри мас яких розміщенні в точках з координатами ${\boldsymbol {x}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{n}$ центр мас системи буде розміщений в точці з координатами

{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}

,

яку можна інтерпретувати як середнє зважене координат ${\boldsymbol {x}}_{i}$ .

Найпоширеніші області застосування зважених сум — чисельне інтегрування та цифрова фільтрація сигналів.

Зважені суми використовуються у задачах багатокритеріальної оптимізації для переходу від декількох часткових критеріїв оптимальності до єдиного інтегрального критерію, який часто є зваженою сумою часткових критеріїв[2].

Також широко застосовуються у економіко-математичних методах аналізу даних та задачах машинного навчання.

Зважене середнє часто використовується у статистиці для компенсації похибок в оцінках. Нехай, для істинного значення $f$ , отримано незалежно один від одного декілька значень $f_{i}$ з дисперсіями $\sigma _{i}^{2}$ , тоді найкраще наближення істинного значення отримуємо як середнє зважене часткових результатів з вагами $w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}$ : дисперсія так отриманого наближення буде меншою за кожну з часткових дисперсій $\sigma ^{2}=1/\sum w_{i}$ . Також застосовується в методі максимальної правдоподібності.

Неперервний випадок

У випадку неперервних величин, вагова функція — міра $w(x)dx$ задана в деякій області $\Omega$ . Міру, в певному сенсі, можна вважати узагальненням поняття вагової функції.

У випадку якщо $\Omega$ є підмножиною евклідового простору ${\mathbb {R} }^{n}$ , то під $dx$ розуміють міру Лебега на ${\mathbb {R} }^{n}$ , а $w:\Omega \to \mathbb {R} ^{+}$ — невід'ємна функція. В даному контексті вагова функція $w(x)$ часто розуміється як густина.

Нехай $f:\Omega \to {\mathbb {R} }$ — дійснозначна функція, то окрім незваженого інтеграла

\int _{\Omega }f(x)\ dx

можна розглядати зважений інтеграл

\int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx.

Оскільки за означенням інтеграл

\mathrm {vol} (E):=\int _{E}1\ dx,\quad E\subset \Omega ,

виступає як об'єм множини $E$ , то можна ввести поняття зваженого об'єму

\mathrm {vol} _{w}(E):=\int _{E}w(x)\ dx

та, відповідно, зваженого середнього значення функції $f$ по множині $E$ :

{\frac {\int _{\Omega }f(x)\ w(x)dx}{\int _{\Omega }w(x)\ dx}}={\frac {1}{\mathrm {vol} _{w}(E)}}\int _{\Omega }f(x)w(x)dx.

Введення вагової функції дозволяє узагальнити поняття інтеграла, як границі відповідної зваженої суми. Такі узагальнення інтеграла часто використовують у статистиці, теорії випадкових процесів, теорії стохастичних диференціальних рівнянь.

У випадку, коли міра є дискретною, ми отримуємо попередній дискретний випадок — всі інтеграли замінюються підсумовуванням.

Скалярний добуток

Нехай $f:\Omega \to {\mathbb {R} }$ та $g:\Omega \to {\mathbb {R} }$ — дві задані функції. Тоді крім звичайного скалярного добутку

{\displaystyle \langle f,g\rangle

можна розглядати зважений скалярний добуток[3]

{\displaystyle \langle f,g\rangle

Прикладами зважених ортогональних функцій (у просторі $L^{2}$ ) є ортогональні поліноми і пов'язані з ними функції, а також ряд інших спеціальних функцій.

Див. також

Примітки

Література

Виноградов И.М. Математическая энциклопедия. — М. : Сов. энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 662.

Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М. : Наука, 1974. — Т. 2. — 296 с.

Посилання

https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Weight

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] ttps://mathworld.wolfram.com/Weight.html

[2] ttps://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Multi-criteria_decision_making

[FOOTNOTEБейтмен1974156-3] Бейтмен, 1974, с. 156.