J-інваріант
j-інваріант або j функція — функція комплексної змінної τ, що є модулярною функцією для групи SL(2, Z) визначеною на верхній комплексній півплощині. Вона є єдиною такою голоморфною на півплощині функцією, що має простий полюс в каспі на безмежності і значення
Раціональні функції від j теж є модулярними функціями і всі модулярні функції можуть бути записані в такий спосіб. Історично j-інваріант вивчався як параметризація еліптичних кривих над полем C, але також він має несподіваний зв'язок з симетріями групи Монстр.
Означення
Мотивацією для означення j-інваріанта є вивчення класів ізоморфності еліптичних кривих. Кожна еліптична крива E над полем C є комплексним тором і тому її можна ідентифікувати з ґраткою порядку 2, тобто двовимірною ґраткою в C. Як виявляється множення ґратки на комплексне число, що відповідає повороту і розтягуванню ґратки, не змінює клас ізоморфності еліптичних кривих і тому можна розглядати лише ґратки породжені 1 і деяким τ в H (де H — верхня комплексна півплощина). Навпаки, якщо визначити
то ця ґратка визначає еліптичну криву над C задану рівнянням y2 = 4x3 − g2x - g3.
j-інваріант за означенням рівний
де модулярний дискримінант Δ рівний
Δ є модулярною формою ваги, g2 — модулярною формою ваги 4, тож її 3-й степінь теж є модулярною формою ваги 12. Тому їх частка, а відповідно і функція j, є модулярною функцією інваріантною щодо дії групи SL(2, Z). j є бієкцією між класами ізоморфності еліптичних кривих над C і комплексними числами.
Фундаментальний регіон
Перетворення τ → τ + 1 і τ → -τ−1 разом породжують групу, що називається модулярною групою. Вибравши необхідне перетворення з цієї групи,
для будь-якого τ можна знайти значення змінної з тим самим значенням функції j, що лежить в фундаментальному регіоні для j, тобто підмножини комплексних чисел, що задовольняють умови:
Функція j(τ) на цьому регіоні приймає кожне значення з C точно один раз. Тобто для кожного c в C,є єдине число τ в фундаментальному регіоні для якого c = j(τ).
Як поверхня Рімана, фундаментальний регіон має рід 0, і всі множина модулярних функцій рівна множині раціональних функцій від j(τ) тобто C(j).
Ряди Фур'є
Багато важливих властивостей j пов'язані з q-розкладом (рядом Фурє), тобто розкладом в ряд Лорана щодо змінної q = exp(2πiτ),що починається як:
Зокрема звідси видно, що оскільки j має простий полюс в каспі,то q-розклад не має членів степенів нижчих, ніж q−1.
Асимптотично коефцієнти біля qn рівні
- ,
Альтернативні означення
Справедливою є формула
де x = λ(1−λ) і λ є модулярною ламбда-функцією
часткою тета-функцій Якобі , і квадратом еліптичного модуля .[3] Значення j не змінюється коли λ замінити на якісь значення з множини:[4]
Означення за допомогою ета-функцій
Нехай і тета-функція Якобі визначена як
і подібно інші тета-функції Якобі. Нехай:
Тоді і можна записати
де η(τ) — ета функція Дедекінда. Тоді j(τ) можна записати у формі зручній для обчислень через швидку збіжність:
Алгебраїчне означення[5]
Вище j означалася як функція комплексної змінної. Проте як інваріант класів ізоморфності еліптичних кривих, її можна визначити алгебраїчно. Нехай
є еліптичною кривою над довільним полем. Позначимо
і
- позначення для дискримінпіпіанта
Якщо поле над яким визначена крива має характеристику не рівну 2 чи 3,означення можна переписати як
Окремі значення
Нижче наведені значення в окремих точках функції
Кілька спеціальних значень були розраховані в 2014 році:[6]
для значень нижче використані позначення,
Ще чотири спеціальні значення наведені у вигляді двох комплексно-сполучених пар:[7]
Див. також
Примітки
- Petersson, Hans (1932). Über die Entwicklungskoeffizienten der automorphen Formen. Acta Mathematica 58 (1). с. 169–215. MR 1555346. doi:10.1007/BF02547776.
- Rademacher, Hans (1938). The Fourier coefficients of the modular invariant j(τ). American Journal of Mathematics 60 (2) (The Johns Hopkins University Press). с. 501–512. JSTOR 2371313. MR 1507331. doi:10.2307/2371313.
- Chandrasekharan (1985) p.108
- Chandrasekharan, K. (1985). Elliptic Functions. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 281. Springer-Verlag. с. 110. ISBN 3-540-15295-4. Zbl 0575.33001.
- Lang, Serge (1987). Elliptic functions. Graduate Texts in Mathematics 112. New-York ect: Springer-Verlag. с. 299–300. ISBN 978-1-4612-9142-8. Zbl 0615.14018.
- Adlaj, Semjon. Multiplication and division on elliptic curves, torsion points and roots of modular equations. Архів оригіналу за 23 жовтня 2014. Процитовано 17 жовтня 2014.
- Adlaj, Semjon (2014). Torsion points on elliptic curves and modular polynomial symmetries. The joined MSU-CCRAS Computer Algebra Seminar. Moscow, Russia.
Література
- Apostol, Tom M. (1976). Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 41. New York: Springer-Verlag. MR 0422157..
- Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat (1999). Ramanujan and the modular j-invariant. Canadian Mathematical Bulletin 42 (4): 427–440. MR 1727340. doi:10.4153/CMB-1999-050-1. Архів оригіналу за 29 вересня 2007. Процитовано 25 лютого 2017.
- Cox, David A. (1989). Primes of the Form x^2 + ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication. New York: Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc. MR 1028322.
- Conway, John Horton; Norton, Simon (1979). Monstrous moonshine. Bulletin of the London Mathematical Society 11 (3): 308–339. MR 0554399. doi:10.1112/blms/11.3.308.
- Rankin, Robert A. (1977). Modular forms and functions. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-21212-X. MR 0498390.
- Schneider, Theodor (1937). Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale. Math. Annalen 113: 1–13. MR 1513075. doi:10.1007/BF01571618..