J-інваріант

j-інваріант або j функція — функція комплексної змінної τ, що є модулярною функцією для групи SL(2, Z) визначеною на верхній комплексній півплощині. Вона є єдиною такою голоморфною на півплощині функцією, що має простий полюс в каспі на безмежності і значення

j-інваріант

Раціональні функції від j теж є модулярними функціями і всі модулярні функції можуть бути записані в такий спосіб. Історично j-інваріант вивчався як параметризація еліптичних кривих над полем C, але також він має несподіваний зв'язок з симетріями групи Монстр.

Означення

Мотивацією для означення j-інваріанта є вивчення класів ізоморфності еліптичних кривих. Кожна еліптична крива E над полем C є комплексним тором і тому її можна ідентифікувати з ґраткою порядку 2, тобто двовимірною ґраткою в C. Як виявляється множення ґратки на комплексне число, що відповідає повороту і розтягуванню ґратки, не змінює клас ізоморфності еліптичних кривих і тому можна розглядати лише ґратки породжені 1 і деяким τ в H (де Hверхня комплексна півплощина). Навпаки, якщо визначити

то ця ґратка визначає еліптичну криву над C задану рівнянням y2 = 4x3g2x - g3.

j-інваріант за означенням рівний

де модулярний дискримінант Δ рівний

Δ є модулярною формою ваги, g2модулярною формою ваги 4, тож її 3-й степінь теж є модулярною формою ваги 12. Тому їх частка, а відповідно і функція j, є модулярною функцією інваріантною щодо дії групи SL(2, Z). j є бієкцією між класами ізоморфності еліптичних кривих над C і комплексними числами.

Фундаментальний регіон

Фундаментальний регіон модулярної групи на верхній півплощині.

Перетворення ττ + 1 і τ → -τ−1 разом породжують групу, що називається модулярною групою. Вибравши необхідне перетворення з цієї групи,

для будь-якого τ можна знайти значення змінної з тим самим значенням функції j, що лежить в фундаментальному регіоні для j, тобто підмножини комплексних чисел, що задовольняють умови:

Функція j(τ) на цьому регіоні приймає кожне значення з C точно один раз. Тобто для кожного c в C,є єдине число τ в фундаментальному регіоні для якого c = j(τ).

Як поверхня Рімана, фундаментальний регіон має рід 0, і всі множина модулярних функцій рівна множині раціональних функцій від j(τ) тобто C(j).

Ряди Фур'є

Багато важливих властивостей j пов'язані з q-розкладом (рядом Фурє), тобто розкладом в ряд Лорана щодо змінної q = exp(2πiτ),що починається як:

Зокрема звідси видно, що оскільки j має простий полюс в каспі,то q-розклад не має членів степенів нижчих, ніж q−1.

Асимптотично коефцієнти біля qn рівні

,

що випливає з використання методу Харді — Літлвуда.[1][2]

Альтернативні означення

Справедливою є формула

де x = λ(1−λ) і λ є модулярною ламбда-функцією

часткою тета-функцій Якобі , і квадратом еліптичного модуля .[3] Значення j не змінюється коли λ замінити на якісь значення з множини:[4]

Означення за допомогою ета-функцій

Нехай і тета-функція Якобі визначена як

і подібно інші тета-функції Якобі. Нехай:

Тоді і можна записати

де η(τ) — ета функція Дедекінда. Тоді j(τ) можна записати у формі зручній для обчислень через швидку збіжність:

Алгебраїчне означення[5]

Вище j означалася як функція комплексної змінної. Проте як інваріант класів ізоморфності еліптичних кривих, її можна визначити алгебраїчно. Нехай

є еліптичною кривою над довільним полем. Позначимо

і

позначення для дискримінпіпіанта

Якщо поле над яким визначена крива має характеристику не рівну 2 чи 3,означення можна переписати як

Окремі значення

Нижче наведені значення в окремих точках функції

Кілька спеціальних значень були розраховані в 2014 році:[6]

для значень нижче використані позначення,

Ще чотири спеціальні значення наведені у вигляді двох комплексно-сполучених пар:[7]

Див. також

Примітки

  1. Petersson, Hans (1932). Über die Entwicklungskoeffizienten der automorphen Formen. Acta Mathematica 58 (1). с. 169–215. MR 1555346. doi:10.1007/BF02547776.
  2. Rademacher, Hans (1938). The Fourier coefficients of the modular invariant j(τ). American Journal of Mathematics 60 (2) (The Johns Hopkins University Press). с. 501–512. JSTOR 2371313. MR 1507331. doi:10.2307/2371313.
  3. Chandrasekharan (1985) p.108
  4. Chandrasekharan, K. (1985). Elliptic Functions. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 281. Springer-Verlag. с. 110. ISBN 3-540-15295-4. Zbl 0575.33001.
  5. Lang, Serge (1987). Elliptic functions. Graduate Texts in Mathematics 112. New-York ect: Springer-Verlag. с. 299–300. ISBN 978-1-4612-9142-8. Zbl 0615.14018.
  6. Adlaj, Semjon. Multiplication and division on elliptic curves, torsion points and roots of modular equations. Архів оригіналу за 23 жовтня 2014. Процитовано 17 жовтня 2014.
  7. Adlaj, Semjon (2014). Torsion points on elliptic curves and modular polynomial symmetries. The joined MSU-CCRAS Computer Algebra Seminar. Moscow, Russia.

Література

  • Apostol, Tom M. (1976). Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 41. New York: Springer-Verlag. MR 0422157..
  • Berndt, Bruce C.; Chan, Heng Huat (1999). Ramanujan and the modular j-invariant. Canadian Mathematical Bulletin 42 (4): 427–440. MR 1727340. doi:10.4153/CMB-1999-050-1. Архів оригіналу за 29 вересня 2007. Процитовано 25 лютого 2017.
  • Cox, David A. (1989). Primes of the Form x^2 + ny^2: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication. New York: Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc. MR 1028322.
  • Conway, John Horton; Norton, Simon (1979). Monstrous moonshine. Bulletin of the London Mathematical Society 11 (3): 308–339. MR 0554399. doi:10.1112/blms/11.3.308.
  • Rankin, Robert A. (1977). Modular forms and functions. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-21212-X. MR 0498390.
  • Schneider, Theodor (1937). Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale. Math. Annalen 113: 113. MR 1513075. doi:10.1007/BF01571618..
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.